代数曲線の特異点とピカールスキーム

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特異点を持つ代数曲線のピカールスキームとその特異点の不変量に関し, 以下の研究成果(A)(B)(C)を得た. これらは全て高松哲平氏との共同研究成果である.(A) カスプを持つ幾何的整な正則代数曲線について, その係数体Kのpのn乘乘根への底変換の正規化を考えることで得られる特異点解消の列と, ピカールスキームの関係を調べた. より正確には, ピカールスキームの最大アフィン部分のpのn乘ねじれ部分の被約化を用いて特異点解消後のピカールスキームを記述できることを証明した. また, これを示すための補題として, 代数トーラスのWeil制限についての構造定理を得た. より正確には, 係数体Kの純非分離代数拡大Lに対し, L上の1次元トーラスのKへのWeil制限の冪単部分が分解群になる最小の拡大体がLと一致することを証明した. さらに, 必要な別の補題として, 正標数の体上の整域の幾何的正規性の特徴付けを証明した.(B) 特異点の局所環Rに対して, 係数体のp次拡大毎に定まる不変量qをRの付値を用いて定義した. さらにqを用いて, 種数の差と導手を計算した. また, これらの計算から得られる種数の差と導手の関係式が得られるが, この関係式の導出として, 双対加群の理論と局所コホモロジーを用いた異なるものを与えた.(C) (B)で定義したqを用いて, 代数曲線の特異点の不変量であるヤコビアン数を記述した. この証明のために, 代数曲線の特異点の局所環より広いクラスの局所環に対してヤコビアン数を定義した. さらに, この広いクラスの局所環を統一的に扱うために, 連続微分加群の理論を用いた. そこで我々は連続微分加群の抽象論の基礎付けを与えた. またこの証明中に, 正標数体K上の一次元完備正則局所環の関係式による構造定理を, qを用いて証明した.