流体問題に関連した線形化固有値問題に対する数値的検証法とその応用

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昨年度に引き続き,2次元の流体問題の一種であるDriven Cavity Problemに対して精度保証付き数値計算法を適用し,定常解の検証を行った.本研究では大きなレイノルズ数の場合にも適用可能な方法として,無限次元空間におけるニュートン法(無限次元ニュートン法)による定常解の検証法を提案した.扱う問題を不動点定式化し,その不動点の検証に関して無限次元ニュートン法を適用する場合,扱う問題の線形化作用素が可逆であることの保証や,その逆作用素の定量的な評価が必要になる.本手法では,線形化作用素Lの可逆性の検証については,フレドホルムの択一定理を利用することによりLの核の一意性を示せばよいことに着目し,線形方程式Lu=0の解uの大域的一意性を精度保証付きで示すことにより行った.またその検証過程で得られる評価を用いることにより,線形化作用素の逆作用素の評価も行うことができた.これらの評価を用いて無限次元ニュートン法を適用し,レイノルズ数がある程度大きい場合でも定常解の検証が行えることを検証数値例により確認した.昨年度は,レイノルズ数が100程度までの場合について定常解の検証が行えることを確認したが,今年度はさらに高いレイノルズ数に適用できるよう改良を施し現在のところレイノルズ数が200程度まで適用できることを確認した.これらの結果は8月に中国で開催された第7回日中数値数学セミナーにおける招待講演において,および9月下旬に福岡で開催された国際シンポジウム「SCAN-2004(International Symposium on Validated Numerics 2004」)において発表した.さらに,より一般的な問題として,線形化作用素が本質的スペクトルを持つ場合についての研究にも着手したところである.