超局所解析による非線形偏微分方程式

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1.この研究の主目的は、ボルツマン方程式の拡張された速度離散モデルおよび1点で強双曲性が退化している非線形双曲型保存則系を調べることにあるが、最終目的は、より広範囲の流体力学の方程式および非線形双曲型保存則系を解明することにある。2.(1)P.L.Lionsらによって、ボルツマン方程式を「解く」ことが流体力学の種々の方程式を「解く」ことにつながることが示されているので、研究の最終目的は、これらの流体力学の方程式の離散モデルの解の様子を把握することにある。(2)強双曲性が1点で退化しているような2*2保存則系について浅倉史興氏(大阪電気通信大学教授)と共同研究を続けている。この方程式は石油貯蔵流などに応用があり、大変重要な意味を持つが、数値計算なしには現在のところ結果が得られていないので、数学的に解明することは重要である。Schaeffer-Shearerによる分類case I〜IVのうち、IとIIについて、われわれのこれまでの研究により得られたリーマン問題の衝撃波解が十分意味のあるものであるかを研究した。このためにこれらの解(弱解)が、粘性消滅法の解の極限であるかという意味で許容条件を満たすかについて研究成果をあげ、得られたその結果を論文(7編うち4編は発表済み、2編は受諾済み、1編は投稿中)に纏めることが出来た。(3)解の存在を証明する手法である粘性消滅法を一般化することを指導中の大学院生・藤野直樹氏と共同研究し、得られた結果を論文(4編のうち2編は受諾済み、2編は投稿中)に纏めることが出来た。(4)LeFlochらにより、保存則に現れる発散形においては有界変動関数と測度の積が定義されることが知られているが、その手法を駆使して、相対論効果を考慮に入れた流体のEuler方程式の真空を含む時間大域解の存在をLeFloch氏(director of research at CNRS)と共同研究中である。これは、相対論効果の無い場合のLeFlochらの結果の拡張であるが、途中まで得られた成果を数理研講究録に纏めつつある。