超局所解析による非線型偏微分方程式

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研究対象である、ボルツマン方程式の拡張された速度離散モデルとは、非線形項を、標準的なモデルのように2次形式のみを仮定するのではなく、2次形式と1次形式両方を考慮した(弱)双曲型方程式系のことを指している。この1次形式は、標準的なモデルにおいて平衡状態からのずれを考える際に自然に現れる形をしている。J.M.Bony教授(Ecole Polytechnique教授、数学センター副主任)との研究交流により、以下のような研究成果を挙げることができた。1.ボルツマン方程式の拡張された速度離散モデルの初期値問題に関するオプティマルな結果は私自身によりすでに得られているが、証明方法を改良することができた。2.ボルツマン方程式の拡張された速度離散モデルの流体力学的極限を研究した。流体力学的極限とは、特異摂動の一つであるが、ボルツマン方程式より、オイラー方程式、ナヴィエ・ストークス方程式等が得られることは既によく知られている。この流体力学的極限をボルツマン方程式の速度離散モデルに適用した例は既にあるが、今回は、この手法をボルツマン方程式の拡張された速度離散モデルに対して用いてみた。実際、従来のオイラー方程式、ナヴィエ・ストークス方程式等の離散モデルとは多少異なる離散モデルが得られた。この流体極限に応じて、対応する解自身がどのように変換されていくか、を今後の研究課題としたい。