結び目の量子不変量の物理的研究

结的量子不变量的物理研究

• 批准号: 15740234
• 负责人: 樋上 和弘
• 金额: $ 2.3万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15740234/
• 关键词: ジョーンズ多項式; 結び目; 保型形式; WRT不変量; チャーン・サイモンズ不変量; モック・テータ函数; ラマヌジャン; ザイフェルト多様体; 量子不変量; 3次元多様体; Jones多項式; 双曲体積; 保型関数; Chern-Simons不変量

色つきジョーンズ多項式をはじめとする結び目の量子不変量は、ウィルソン・ループ上の経路積分として定義される。同じ経路積分の手法を用いると、3次元多様体上の分配関数が定義される。この不変量は結び目不変量を用いて数学的に厳密な形に定式化でき、ウィッテン・レシェティキン・ツゥラエフ(WRT)不変量と呼ばれる。今年度は、球型ザイフェルト多様体のSU(2)WRT不変量の持つ性質を詳細に解析した。球型ザイフェルト多様体とは、基本群が正多面体の対称性と関連づけられるものであり、有名な例としてボアンカレ球があげられる。ザギエとローレンスによって、ポアンカレ球のSU(2)WRT不変量が半整数重みを持つ保型形式のアイヒラー積分の極限値として表されることが示されている。本研究においてこの手法を拡張し、すべての球型ザイフェルト多様体についても、WRT不変量が保型形式のアイヒラー積分を用いて書き表せることを示した。この結果、保型形式の変換公式から不変量の漸近展開を厳密に求めることに成功した。この保型形式は共形場理論における分配関数として現れるものであり、チャーン・サイモンズ不変量やライデマイスター捩れといった位相不変量の持つ、保型形式、共形場理論との密接な関係が明らかとなった。また不変量にあらわれる保型形式の幾何学を調べ、基本群、つまり正多面体の対称性をもつことを明らかにした。この事実は量子不変量と基本群との密接な関係を示すものであり、今後の更なる発展が期待される。さて、アイヒラー積分のもつ近漸近性は、ラマヌジャンによるモック・テータ函数のもつ性質と非常に似たものである。球型ザイフェルト多様体の量子不変量の具体的な表式を詳細に調べることにより、これらがモック・テータ函数の極限値と見なせることを明らかにした。この対応関係を用いて、新しいモック・テータ関数の候補をいくつか提出し、そのうちのひとつについては変換公式を求めることに成功した。ラマヌジャン以降、いまだ未解明なものが数多く残されているモック・テータ函数において、量子不変量との関連性という全く新しい側面を明らかにしたことにより、今後のテータ函数の研究の新たな飛躍が期待できる。

Color Polynomials: The Quantum Equation of the Problem The method of integral of the same cycle is used in the definition of the distribution relation on the three-dimensional manifold. This is the first time that a person has ever been involved in a relationship with another person, and the first time he has ever been involved in a relationship with another person, he has always been involved in a relationship with another person. This year, the SU(2)WRT of the spherical and spherical multi-dimensional bodies is analyzed in detail. Spherical polyhedra, fundamental polyhedra, symmetry and correlation The limit of the integral of a semi-integer weight is expressed in the table below. In this study, the method of expansion and transformation of spherical multi-dimensional structure is discussed. The WRT does not vary from the form of preserving multi-dimensional structure to the form of integral structure. This result, the invariant asymptotic expansion of the transformation formula of the conformal form, was successfully obtained through close calculation. The form-preserving form and conformal field theory are closely related to each other. The geometry of a shape-preserving form, the fundamental group, the symmetry of a regular polyhedron, and so on This is the first time that the quantum theory has been used to describe the close relationship between quantum theory and fundamental theory, and it is expected to develop in the future The property of the integral is very similar to that of the asymptotic property. The specific expression of the quantum invariance of the spherical polyhedron is adjusted in detail. The relationship between the two is used in the middle, the new one is used in the middle, and the candidate number is used in the middle. In the future, we hope to make a new leap in the study of the function.

项目成果

Quantum invariant for torus link and modular forms

环面链接和模块化形式的量子不变量

• 发表时间: 2004
• 期刊: Communications in Mathematical Physics 246
• 作者: K.Hikami;A.N.Kirillov;Kazuhiro Hikami
• 通讯作者: Kazuhiro Hikami

K.Hikami: "Quantum Invariant for Torus Link and Modular Form"Communications in Mathematical Physics. (印刷中).

K. Hikami：“环面链接和模形式的量子不变量”数学物理通讯（正在出版）。

Hypergeometric Generating Function for L-Functions, Slater's Identities, and Quantum Knot Invariant

L 函数、Slater 恒等式和量子结不变量的超几何生成函数

• 发表时间: 2005
• 期刊: Algebra i Analysis 17
• 作者: K.Hikami;A.N.Kirillov
• 通讯作者: A.N.Kirillov

K.Hikami, A.N.Kirillov: "Torus Knot and Minimal Model"Physics Letters B. 575. 343-348 (2003)

K.Hikami、A.N.Kirillov：“环面结和最小模型”物理快报 B. 575. 343-348 (2003)