楕円曲線のツイストとそのL関数の研究

昨年に引き続き,保型形式に付随するL関数の研究に取り組み,今年度は特に虚二次体のHecke指標に対する玉河数予想の研究とSiegel保型形式に付随するL関数の中心値に関する結果を得た.Bloch-Katoのによる玉河数予想は一般のmotiveに対するHasse-Weil L関数の整数点での特殊値をcohomology群の言葉を用いて記述する予想であり,abel体のTate motiveの場合にはBurns, Greither, Flachらにより完全に証明されている.近年BleyとJohnsonはこの予想を虚二次体のabel拡大体のTate motiveの場合を考察した.今年度,この研究を拡張し,類数が1の虚二次体上のHecke指標の場合にGalois群の作用を込めた精密な形の予想をnon-criticalの場合にweak Leopoldt予想と岩澤主予想の仮定の下で証明した.この結果は従来の虚数乗法を持つ楕円曲線やHecke指標に対するKingsやBarsたちによって得られていた結果の拡張,一般化になっている.一方L関数のcentral valueに対するnon-vanishingの問題は代数的整数論への応用なども含め,古くから調べられてきた問題である.今年度はSiegel保型形式に付随するstandard L関数を考察し,L関数の関数等式の中心での値が消えていないようなSiegel保型形式の個数が保型形式のlevelを大きくしていったとき,どのように増大していくかという問題について,名古屋大学の松本耕二氏と室蘭工業大学の桂田英典氏と共同研究を行った.この研究に対して今年度はL関数の一乗平均の評価に必要となるPeterssonの公式の一般化とその公式を用いたPoincare級数のFourier係数の評価に関する結果を得た.

昨年に引き続き,保型形式に付随するL関数の研究に取り組み,今年度は特に虚二次体のHecke指標に対する玉河数予想の研究とSiegel保型形式に付随するL関数の中心値に関する結果を得た.Bloch-Katoのによる玉河数予想は一般のmotiveに対するHasse-Weil L関数の整数点での特殊値をcohomology群の言葉を用いて記述する予想であり,abel体のTate motiveの場合にはBurns, Greither, Flachらにより完全に証明されている.近年BleyとJohnsonはこの予想を虚二次体のabel拡大体のTate motiveの場合を考察した.今年度,この研究を拡張し,類数が1の虚二次体上のHecke指標の場合にGalois群の作用を込めた精密な形の予想をnon-criticalの場合にweak Leopoldt予想と岩澤主予想の仮定の下で証明した.この結果は従来の虚数乗法を持つ楕円曲線やHecke指標に対するKingsやBarsたちによって得られていた結果の拡張,一般化になっている.一方L関数のcentral valueに対するnon-vanishingの問題は代数的整数論への応用なども含め,古くから調べられてきた問題である.今年度はSiegel保型形式に付随するstandard L関数を考察し,L関数の関数等式の中心での値が消えていないようなSiegel保型形式の個数が保型形式のlevelを大きくしていったとき,どのように増大していくかという問題について,名古屋大学の松本耕二氏と室蘭工業大学の桂田英典氏と共同研究を行った.この研究に対して今年度はL関数の一乗平均の評価に必要となるPeterssonの公式の一般化とその公式を用いたPoincare級数のFourier係数の評価に関する結果を得た.