自由群の自己同型群の組み合わせ群論的,位相幾何学的研究

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自由群の自己同型群のJohnson準同型に関する研究を行い,特に,IA-自己同型群の降中心列とJohnson filtrationの違いについてBurau表現を通して考えることでいくつかの結果が得られた.具体的には,これらの違いは(もし存在するならば)Burau表現の核に含まれることを示し,特に次数が3の場合には,降中心列とJohnson filtrationはBurau表現の像上では一致することが分かった.現在は,この手法を応用して,Burau表現よりも多くの情報をもつGassner表現に対して同様の結果が得られないか研究中である.一方,自由群の自己同型群のねじれ係数コホモロジー群の計算については,IA-自己同型群のアーベル化を係数とする場合の,1次元コホモロジー群を計算することができた.これには,Nielsenによって得られている,自由群の自己同型群の表示を用いた.森田茂之及び,河澄響矢による最近の研究によって,この1次元コホモロジー群には本質的に相異なる2つの非自明なコホモロジー類が存在することが知られていたが,今回の結果により,この2つの元が1次元コホモロジー群を生成していることも分かった.さらに応用として,第1Johnson準同型が,自由群の自己同型群全体に,ねじれ準同型として拡張しないことも分かった.