Study on cohomologies of automorphism groups of free groups focued on the unstable range

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今年度も前年度までの研究を継続し，自由群のverbal部分群のアーベル化への，自由群の自己同型群の作用に関するねじれ係数1次元コホモロジーの計算を行った．状況を簡単に述べる．dを2以上の整数とする．自由群においてある元のd乗として表される元すべて，及び任意の交換子すべてで生成される部分群をVとおく．すなわち，自由群のVによる剰余群は位数dの巡回群の直積群である．このような部分群Vは自由群のverbal部分群呼ばれ，Grossmanによって古典的に研究されていた．verbal部分群は特性部分群であり，Vのアーベル化には自由群の自己同型群が自然に作用する．昨年度までの研究により，Vのアーベル化を係数とするような自由群の自己同型群の1次元ホモロジー群には，dに応じて1次独立な非自明コホモロジー類がいくつか存在することが分かっていた．さらにそのうちの2つは，本質的に，自由群のアーベル化を係数とした場合の，自由群の自己同型群の1次元コホモロジー群の生成元として知られている，森田類を用いて構成されることが比較的容易に分かるが，それ以外の非自明なコサイクルの存在については意味づけができておらず存在理由も不明であった．今年度は自由群の階数が2であって，dの値をいくつか変化させた場合の計算を進め，それらの結果から，Vのアーベル化はdが素数の場合の直和として分解するのではないかということが予想され，いくつかの場合にそれが正しいことが証明できた．現在は，dや自由群の階数がより一般の場合に証明ができないか研究中である．