ｖｏｎ　Ｎｅｕｍａｎｎ　環上の群作用の分類

平成29年度は，研究計画に記載した課題のうち，「局所コンパクト従順群のvon Neumann 環への作用」を研究した。これは，以前取り組んだ「局所コンパクト可換群のvon Neumann環への作用」（Publ.RIMS）の一般化であり，Masuda--Tomatsu（Memo.AMS）による，実数群作用の分類を最大限一般化するものである。実際に分類する上での困難は，分類の上で重要になる「Rohlin性」と呼ばれる性質をいかに定義するかであるが，これを，群の従順性をうまく用いて定義することに成功し，実際にこの意味での「Rohlin性」をもつ群作用を分類することができた。つまり，与えられた局所コンパクト従順群と，von Neumann 環に対して，もしこの群からvon Neumann 環への二つのRohlin 性を持つ作用があり，それらが近似的にユニタリ同値ならば，それら二つの作用はコサイクル共役であることがわかった。また，未だ証明することには成功していないものの，Vaes（Crelle）によって構成された群作用たちがこの意味での「Rohlin」性を持ちそうだという予想もついた。しかし，この「Rohlin性」よりも，より自然な形があると考えている。より具体的には，von Neumann 環（とそこへの群作用）から自然に構成できる，中心化列環と呼ばれる別のvon Neumann 環があるのだが，そこへの作用が忠実という条件だけからRohlin性が従うべきだと思うのだが，それはあまりうまく行かなかった。それを解決するためには，Connesによる可換群作用のスペクトル理論をもう少しよく理解して，局所コンパクト群の場合に一般化できないと厳しいように思う。

平成29年度は，研究計画に記載した課題のうち，「局所コンパクト従順群のvon Neumann 環への作用」を研究した。これは，以前取り組んだ「局所コンパクト可換群のvon Neumann環への作用」（Publ.RIMS）の一般化であり，Masuda--Tomatsu（Memo.AMS）による，実数群作用の分類を最大限一般化するものである。実際に分類する上での困難は，分類の上で重要になる「Rohlin性」と呼ばれる性質をいかに定義するかであるが，これを，群の従順性をうまく用いて定義することに成功し，実際にこの意味での「Rohlin性」をもつ群作用を分類することができた。つまり，与えられた局所コンパクト従順群と，von Neumann 環に対して，もしこの群からvon Neumann 環への二つのRohlin 性を持つ作用があり，それらが近似的にユニタリ同値ならば，それら二つの作用はコサイクル共役であることがわかった。また，未だ証明することには成功していないものの，Vaes（Crelle）によって構成された群作用たちがこの意味での「Rohlin」性を持ちそうだという予想もついた。しかし，この「Rohlin性」よりも，より自然な形があると考えている。より具体的には，von Neumann 環（とそこへの群作用）から自然に構成できる，中心化列環と呼ばれる別のvon Neumann 環があるのだが，そこへの作用が忠実という条件だけからRohlin性が従うべきだと思うのだが，それはあまりうまく行かなかった。それを解決するためには，Connesによる可換群作用のスペクトル理論をもう少しよく理解して，局所コンパクト群の場合に一般化できないと厳しいように思う。