射影不変平均曲率流と画像処理

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1.この研究はユークリッド的平均曲率流による画像処理上の欠点を、射影曲率流を考えることによって克服することを目的とした。画像処理に現われる境界線をなめらかにする方法としてアファイン微分幾何的不変量の発展方程式解を使う方法が有効である。ユークリッド的発展方程式解では長時間経つと形を崩してしまうことの欠点を補うことができる。一方、これまで調べられていた方法では、見た目の図形的大きさを保つことができない。これを局所的な情報だけで、大きさを失わない保存的アファイン発展方程式を見出すことが出来た。これは、(複雑ではあるが)4階の方程式である。一方、これをそのまま射影的に一般化するとこの特性がなくなり、不満足な結果である。射影的な場合は通常の変数に関しては6階の楕円型であり、微分方程式の解法上は難しく、それが積分可能であるかは不明のままである。数値実験を行うことも目的としたが、出来ていない。解の存在問題と高次元の場合の運動について検討する必要がある。2.代表者はこの間、射影微分幾何の曲線論、曲面論、線叢の理論のまとめを行う一方、超幾何方程式系の定める射影曲面の子細な検討を行った。研究課題の問題は、広く捉えると、射影部分多様体の変分を曲率を使って与えるものであるが、射影曲面の場合は、まだ全く手がつけられていない。分担者浦川はアファイン曲面の持つ自然なワイル構造についての汎関数を定め、曲面論に新しい概念を導入した。また、分担者高山は「正しい」数式処理システムの開発と実装を行った。