変分的手法による非線型楕円型方程式の研究

使用变分法研究非线性椭圆方程

• 批准号: 08J01493
• 负责人: 平田 潤
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2008
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2008 至 2009
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08J01493/
• 关键词: 変分法; 楕円型方程式; シュレディンガー方程式

非線型シュレディンガー方程式に代表される、楕円型方程式の非自明解の存在問題の研究を行った。このタイプの方程式は、様々な物理現象の定常状態を記述するものとして知られており、多方面からの研究がなされている。本研究では、従来よりも幅広い種類の非線型項に対して、方程式の非自明解の存在定理を得ることに成功した。まず方程式が空間変数に依存しない場合についての本研究の成果を述べる。先行する研究では、扱う次元の違いによって異なる最小化問題を解くことで、方程式の非自明解の存在を導いていた。一方、本研究では変分法の基本的な手法であるmountain passの定理を用いることで、次元の違いによらない方法で方程式の非自明解の存在を導くことができた。合わせて扱える非線型項の範囲を広げることができ、既存の結果を拡張することに成功した。さらに、得られた解が最小エネルギー解であることおよび、方程式が無限個の非自明解をもつことも示した。次に方程式が空間変数に依存する場合での本研究の成果を述べる。本研究では特にポテンシャルが空間変数に依存する非線型シュレディンガー方程式を扱い、その非自明解の存在を示した。方程式が空間変数に依存する場合は、依存しない場合と比べて、非自明解の存在問題はデリケートになる。このため従来の研究ではポテンシャルに対して、対称性などの大域的な条件を仮定している。一方、本研究ではポテンシャルに大域的な条件を仮定することなく、無限遠での挙動を利用して非自明解を導いている。これにより、幅広い種類の方程式に対して、非自明解の存在を示すことが可能になった。

Non-linear シュレディ, <s:1>, ガ, に equations に represent される, elliptical equations <e:1> are not self-evident solutions, there are problems, and research on を lines った. こ の タ イ プ の equation は, others 々 な physical phenomena の steady state を account す る も の と し て know ら れ て お り, various か ら の research が な さ れ て い る. This study で は, 従 よ り も picture hiroo い kinds item の of linear に し seaborne て formula, not self-evident existence theorem を の の have る こ と に successful し た. The まず equation が the spatial variable に depends on the <s:1> な the な situation に the て て the て て the <s:1> results of this study を describe the べる. First す る research で は, Cha う dimensional の violations い に よ っ て different な る minimization problem を solution く こ と で, the equation is の の self-evident solution を guide い て い た. One party, this study で は - points method の basic な gimmick で あ る mountain pass を の theorem with い る こ と で, dimensional の violations い に よ ら な い method で equation is の の not self-evident solution を guide く こ と が で き た. Close わ せ て Cha え る of linear item の van 囲 を hiroo げ る こ と が で き, existing の results を company, zhang す る こ と に successful し た. さ ら に, ら れ た solution が minimum エ ネ ル ギ ー solution で あ る こ と お よ equation が び, an infinite number of の not self-evident solution を も つ こ と も shown し た. The spatial variable of the に equation が is に dependent on する situations で <s:1> the results of this study を describe べる. This study で は, に ポ テ ン シ ャ ル が space - several に dependent す る of linear シ ュ レ デ ィ ン ガ ー equation を Cha い, そ の の not self-evident solution を shown し た. There are problems with the equations が, spatial variables に in the case of する, <s:1> in the case of な, と ratio べて, and non-self-explanatory <s:1>. こ の た め 従 research で の は ポ テ ン シ ャ ル に し seaborne て, said seaborne な ど の な conditions of large domain を 仮 set し て い る. One party, this study で は ポ テ ン シ ャ ル に な conditions of large domain を 仮 set す る こ と な く, infinity で の 挙 dynamic を using し て を not self-evident solution guide い て い る. The <s:1> れによ れによ, the equations of the species of the hiuchi are に. For the て and non-self-evident solutions of the <s:1>, there exist を indications す とが とが とが になった.

项目成果

NONLINEAR SCALAR FIELD EQUATIONS IN R N : MOUNTAIN PASS AND SYMMETRIC MOUNTAIN PASS APPROACHES

• 发表时间: 2010
• 作者: Jun Hirata;N. Ikoma;Kazunaga Tanaka

A positive solution of a nonlinear Schrodinger equation

非线性薛定谔方程的正解

• 发表时间: 2009
• 作者: J.Hirata;N.Ikoma;K.Tanaka;平田潤;平田潤
• 通讯作者: 平田潤

ポテンシャルの無限遠での挙動とSchrodinger方程式の正値解の存在

无穷远势能的行为以及薛定谔方程正确解的存在性

• 发表时间: 2010
• 作者: J.Hirata;N.Ikoma;K.Tanaka;平田潤
• 通讯作者: 平田潤

Positive solutions of scalar field equations

标量场方程的正解

• 发表时间: 2008
• 作者: J.Hirata;N.Ikoma;K.Tanaka;平田潤;平田潤;平田潤
• 通讯作者: 平田潤