変分的手法による非線型楕円型方程式の研究

非線型シュレディンガー方程式に代表される、楕円型方程式の非自明解の存在問題の研究を行った。このタイプの方程式は、様々な物理現象の定常状態を記述するものとして知られており、多方面からの研究がなされている。本研究では、従来よりも幅広い種類の非線型項に対して、方程式の非自明解の存在定理を得ることに成功した。まず方程式が空間変数に依存しない場合についての本研究の成果を述べる。先行する研究では、扱う次元の違いによって異なる最小化問題を解くことで、方程式の非自明解の存在を導いていた。一方、本研究では変分法の基本的な手法であるmountain passの定理を用いることで、次元の違いによらない方法で方程式の非自明解の存在を導くことができた。合わせて扱える非線型項の範囲を広げることができ、既存の結果を拡張することに成功した。さらに、得られた解が最小エネルギー解であることおよび、方程式が無限個の非自明解をもつことも示した。次に方程式が空間変数に依存する場合での本研究の成果を述べる。本研究では特にポテンシャルが空間変数に依存する非線型シュレディンガー方程式を扱い、その非自明解の存在を示した。方程式が空間変数に依存する場合は、依存しない場合と比べて、非自明解の存在問題はデリケートになる。このため従来の研究ではポテンシャルに対して、対称性などの大域的な条件を仮定している。一方、本研究ではポテンシャルに大域的な条件を仮定することなく、無限遠での挙動を利用して非自明解を導いている。これにより、幅広い種類の方程式に対して、非自明解の存在を示すことが可能になった。

非線型シュレディンガー方程式に代表される、楕円型方程式の非自明解の存在問題の研究を行った。このタイプの方程式は、様々な物理現象の定常状態を記述するものとして知られており、多方面からの研究がなされている。本研究では、従来よりも幅広い種類の非線型項に対して、方程式の非自明解の存在定理を得ることに成功した。まず方程式が空間変数に依存しない場合についての本研究の成果を述べる。先行する研究では、扱う次元の違いによって異なる最小化問題を解くことで、方程式の非自明解の存在を導いていた。一方、本研究では変分法の基本的な手法であるmountain passの定理を用いることで、次元の違いによらない方法で方程式の非自明解の存在を導くことができた。合わせて扱える非線型項の範囲を広げることができ、既存の結果を拡張することに成功した。さらに、得られた解が最小エネルギー解であることおよび、方程式が無限個の非自明解をもつことも示した。次に方程式が空間変数に依存する場合での本研究の成果を述べる。本研究では特にポテンシャルが空間変数に依存する非線型シュレディンガー方程式を扱い、その非自明解の存在を示した。方程式が空間変数に依存する場合は、依存しない場合と比べて、非自明解の存在問題はデリケートになる。このため従来の研究ではポテンシャルに対して、対称性などの大域的な条件を仮定している。一方、本研究ではポテンシャルに大域的な条件を仮定することなく、無限遠での挙動を利用して非自明解を導いている。これにより、幅広い種類の方程式に対して、非自明解の存在を示すことが可能になった。