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楕円型方程式の初期値問題を例とした逆問題の数値的手法の見直し

楕円型方程式の初期値問題を例とした逆問題の数値的手法の見直し
以椭圆方程初值问题为例回顾反问题的数值方法
批准号：
22K18674
负责人：
藤原 宏志
金额：
$3.83万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
项目状态：
未结题
起止时间：
2022-06-30 至 2025-03-31
来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K18674/
关键词：
逆問題非適切問題楕円型方程式のCauchy問題不安定性スペクトル解析特異積分方程式連立一次方程式の条件数非適切性数値解析楕円型方程式の初期値問題

项目摘要

项目成果

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中文摘要
翻译
本年度は，本研究の契機となった画像再構成問題に関連して，そこに現れる特異積分方程式のある離散化スキームの不安定性を調べた．その結果，多くの応用逆問題と同様に不安定ではあるものの，その不安定性が応用上一般的な規模の数値計算では深刻でないことを示した．具体的には，不安定性の指標のひとつとして知られる連立一次方程式の条件数が，分割数に対して高々線型オーダーでしか増大しないことを示した．楕円型方程式の初期値問題の典型例である Hadamard の反例では，解が一意に存在するが，誤差が指数的に増大するものである．これは応用分野でもよく知られており，楕円型初期値問題の困難さといわれる．今年度取り扱った問題は異なる定式化であり，研究申請の段階で，実測値をもちいた事例研究によってそのような指数的増大が生じないことは判明していたが，それがこの事例に特有のことなのか，どこまで一般的なのかが明らかではなかった．また従来からこの方程式が点スペクトルの「境界」に位置しており，一般的な関数解析の議論によってスペクトルに属する，すなわち解が一意でないか，もしくは不安定であるかのいずれかであることはわかっていた．申請者と海外の研究協力者によって自然な設定で解が一意であることが再検証され，「不安定」であることはわかったが，どの程度不安定なのかは明らかでなかった．そこで今年度，数値解析の視点から，不連続Galerkin法による離散化で得れる連立一次方程式の条件数が分割数の高々1次で増大することがわかった．これは，研究申請時に得ていた事例研究の結果が，ある程度一般的に成立することを示すものであると考えられる．
英文摘要
本年度は，本研究の契機となった画像再構成問題に関連して，そこに現れる特異積分方程式のある離散化スキームの不安定性を調べた．その結果，多くの応用逆問題と同様に不安定ではあるものの，その不安定性が応用上一般的な規模の数値計算では深刻でないことを示した．具体的には，不安定性の指標のひとつとして知られる連立一次方程式の条件数が，分割数に対して高々線型オーダーでしか増大しないことを示した．楕円型方程式の初期値問題の典型例である Hadamard の反例では，解が一意に存在するが，誤差が指数的に増大するものである．これは応用分野でもよく知られており，楕円型初期値問題の困難さといわれる．今年度取り扱った問題は異なる定式化であり，研究申請の段階で，実測値をもちいた事例研究によってそのような指数的増大が生じないことは判明していたが，それがこの事例に特有のことなのか，どこまで一般的なのかが明らかではなかった．また従来からこの方程式が点スペクトルの「境界」に位置しており，一般的な関数解析の議論によってスペクトルに属する，すなわち解が一意でないか，もしくは不安定であるかのいずれかであることはわかっていた．申請者と海外の研究協力者によって自然な設定で解が一意であることが再検証され，「不安定」であることはわかったが，どの程度不安定なのかは明らかでなかった．そこで今年度，数値解析の視点から，不連続Galerkin法による離散化で得れる連立一次方程式の条件数が分割数の高々1次で増大することがわかった．これは，研究申請時に得ていた事例研究の結果が，ある程度一般的に成立することを示すものであると考えられる．
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会议论文
On a Cauchy-type singular integral equation for x-ray computerized tomography with partial measurement
部分测量X射线计算机断层摄影的柯西型奇异积分方程
DOI： --
发表时间： 2023
期刊：
影响因子： --
作者： [藤原宏志, Kamran Sadiq, Alexandru Tamasan]
通讯作者： Alexandru Tamasan
Exflib information
Exflib 信息
DOI： --
发表时间：
期刊：
影响因子： --
作者： []
通讯作者：
Cauchy型境界積分によるエックス線断層撮影法の安定化パラメータの選択
使用柯西型边界积分选择 X 射线断层扫描的稳定参数
DOI： --
发表时间： 2022
期刊：
影响因子： --
作者： [渡部善隆, Masato Hoshino, Pablo Bayona-Pena and Kazutaka Takahashi, 村川 秀樹, 藤原宏志]
通讯作者： 藤原宏志
Johann Radon Institute(オーストリア)
约翰氡研究所（奥地利）
DOI： --
发表时间：
期刊：
影响因子： --
作者： []
通讯作者：
共 6 条
    輸送方程式を軸としたトモグラフィの数理解析の新展開
    • 批准号：
      24K00539
    • 项目类别：
      Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
    • 资助金额：
      $11.65万
    • 财政年份：
      2024
    • 负责人：
      藤原 宏志
    • 依托单位：
      Kyoto University
    多重散乱情報をもちいる次世代イメージング手法の数理解析
    • 批准号：
      20H01821
    • 项目类别：
      Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
    • 资助金额：
      $10.48万
    • 财政年份：
      2020
    • 负责人：
      藤原 宏志
    • 依托单位：
      Kyoto University
    逆問題の解の再構成のための数値解析理論の構成と次世代数値計算環境の設計と実装
    • 批准号：
      17740057
    • 项目类别：
      Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
    • 资助金额：
      $2.18万
    • 财政年份：
      2005
    • 负责人：
      藤原 宏志
    • 依托单位：
      Kyoto University
    プラントオパール分析による長江下流域における稲作起源及び品種変遷に関する研究
    • 批准号：
      96F00274
    • 项目类别：
      Grant-in-Aid for JSPS Fellows
    • 资助金额：
      $0.77万
    • 财政年份：
      1998
    • 负责人：
      藤原 宏志
    • 依托单位：
      University of Miyazaki
    海外基金