楕円型方程式の初期値問題を例とした逆問題の数値的手法の見直し

以椭圆方程初值问题为例回顾反问题的数值方法

• 批准号: 22K18674
• 负责人: 藤原 宏志
• 金额: $ 3.83万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-06-30 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K18674/
• 关键词: 逆問題; 非適切問題; 楕円型方程式のCauchy問題; 不安定性; スペクトル解析; 特異積分方程式; 連立一次方程式の条件数; 非適切性; 数値解析; 楕円型方程式の初期値問題

本年度は，本研究の契機となった画像再構成問題に関連して，そこに現れる特異積分方程式のある離散化スキームの不安定性を調べた．その結果，多くの応用逆問題と同様に不安定ではあるものの，その不安定性が応用上一般的な規模の数値計算では深刻でないことを示した．具体的には，不安定性の指標のひとつとして知られる連立一次方程式の条件数が，分割数に対して高々線型オーダーでしか増大しないことを示した．楕円型方程式の初期値問題の典型例である Hadamard の反例では，解が一意に存在するが，誤差が指数的に増大するものである．これは応用分野でもよく知られており，楕円型初期値問題の困難さといわれる．今年度取り扱った問題は異なる定式化であり，研究申請の段階で，実測値をもちいた事例研究によってそのような指数的増大が生じないことは判明していたが，それがこの事例に特有のことなのか，どこまで一般的なのかが明らかではなかった．また従来からこの方程式が点スペクトルの「境界」に位置しており，一般的な関数解析の議論によってスペクトルに属する，すなわち解が一意でないか，もしくは不安定であるかのいずれかであることはわかっていた．申請者と海外の研究協力者によって自然な設定で解が一意であることが再検証され，「不安定」であることはわかったが，どの程度不安定なのかは明らかでなかった．そこで今年度，数値解析の視点から，不連続Galerkin法による離散化で得れる連立一次方程式の条件数が分割数の高々1次で増大することがわかった．これは，研究申請時に得ていた事例研究の結果が，ある程度一般的に成立することを示すものであると考えられる．

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项目成果

On a Cauchy-type singular integral equation for x-ray computerized tomography with partial measurement

部分测量X射线计算机断层摄影的柯西型奇异积分方程

• 发表时间: 2023
• 作者: 藤原宏志;Kamran Sadiq;Alexandru Tamasan
• 通讯作者: Alexandru Tamasan

Exflib information

Exflib 信息

Cauchy型境界積分によるエックス線断層撮影法の安定化パラメータの選択

使用柯西型边界积分选择 X 射线断层扫描的稳定参数

• 发表时间: 2022
• 作者: 渡部善隆;Masato Hoshino;Pablo Bayona-Pena and Kazutaka Takahashi;村川 秀樹;藤原宏志
• 通讯作者: 藤原宏志

Johann Radon Institute(オーストリア)

约翰氡研究所（奥地利）

University of Central Florida(米国)

中佛罗里达大学（美国）