円分関数体の合同ゼータ関数の研究

昨年度に引き続き、本年度も円分関数体のゼータ関数やJacobi多様体に関して研究を行った。主な研究成果として1つは、円分関数体のゼータ関数のマイナスパートに対して行列式公式を構成することができた。この公式はRosenによって既に与えられていた相対類数の公式のゼータ関数への一般化になっている。プラスパートのケースは昨年度までの研究で既に得られており、今回のこの結果と合わせることで円分関数体のゼータ関数の行列式公式を完全に与えることができたことになる。また応用として、ゼータ関数から構成される特性多項式に関してその低次の係数に対する明示公式を与えることができた。二つ目は、Deuring-Shafarevichの公式の別証明を与えた。この公式は、関数体のGalois p-拡大に対して,そのJacobi多様体のp-rankの間の関係式で1940年代にDeuringが条件付きで証明を与え、Shafarevich, Madanらの研究を経て、1970年代に代数幾何的な手法を用いることでSubraoが一般的な形で証明した。筆者は、これとは全く異なる手法としてゼータ関数の零点のベキ乗和の間に関係式を導き、それをp進解析的に比較することで証明を与えた。この証明の長所としては,ゼータ関数やその微分に対してmodulo pでの関係式が導ける点がある.また応用としてJacobi多様体のp-rankが常に0になるような関数体の無限族を具体的に構成した。

昨年度に引き続き、本年度も円分関数体のゼータ関数やJacobi多様体に関して研究を行った。主な研究成果として1つは、円分関数体のゼータ関数のマイナスパートに対して行列式公式を構成することができた。この公式はRosenによって既に与えられていた相対類数の公式のゼータ関数への一般化になっている。プラスパートのケースは昨年度までの研究で既に得られており、今回のこの結果と合わせることで円分関数体のゼータ関数の行列式公式を完全に与えることができたことになる。また応用として、ゼータ関数から構成される特性多項式に関してその低次の係数に対する明示公式を与えることができた。二つ目は、Deuring-Shafarevichの公式の別証明を与えた。この公式は、関数体のGalois p-拡大に対して,そのJacobi多様体のp-rankの間の関係式で1940年代にDeuringが条件付きで証明を与え、Shafarevich, Madanらの研究を経て、1970年代に代数幾何的な手法を用いることでSubraoが一般的な形で証明した。筆者は、これとは全く異なる手法としてゼータ関数の零点のベキ乗和の間に関係式を導き、それをp進解析的に比較することで証明を与えた。この証明の長所としては,ゼータ関数やその微分に対してmodulo pでの関係式が導ける点がある.また応用としてJacobi多様体のp-rankが常に0になるような関数体の無限族を具体的に構成した。