中心極限定理の一般化と写像の集中現象の応用について

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測度の集中現象の幾何解析への応用について考察をした。とくに閉リーマン多様体上のラプラシアンの固有値の挙動と測度の集中現象の関係について調べた(東北大学の塩谷隆氏との共同研究)。我々はリッチ曲率が非負の閉リーマン多様体の列のラプラシアンの第k固有値が無限大に発散するとき、測度の集中現象が起きることを示した。エマニュエルミルマンの最近の結果と併せて次を得た。非負リッチ曲率の仮定の下でラプラシアンの第k固有値が無限大に発散するならば、第1固有値も無限大に発散することを示した。この考察の応用として非負リッチ曲率を持つ閉リーマン多様体上のラプラシアンの固有値の間の普遍不等式を得た。証明の際にはグロモフが1999年に導入したおブザーバブル距離と呼ばれる測度距離空間の間の距離に関する考えている多様体の収束について論じた。第k固有値が無限大に発散すると部分列をとると考えている多様体が高々k個からなる有限測度距離空間にオブザーバブル距離に関して収束することがわかる。我々は最適郵送問題の道具を用いて非負リッチ曲率の仮定の下で極限空間が連結となることを示した。従って考えている多様体のラプラシアンの第k固有値が無限大に発散すると極限が1点からなることがわかる。この距離に関する極限が1点からなるときは、測度の集中現象と同値となる。このようにして極限空間の構造を調べることによってラプラシアンの固有値についての結果を得たのは意義深い。