`Nice' partitions and eigenvalues of the Laplacian

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ノイマン境界条件下でのラプラシアンの固有値（以下、ノイマン固有値と呼ぶ）の領域単調性について空間の分割を用いて研究を行った。前年度得られたユークリッド空間の二つの有界凸領域に関するノイマン固有値の領域単調性に関する証明に不備が見られたので修正をした。具体的には凸領域と球体の共通部で混合境界条件を課したときにラプラシアンの第一固有値の上からの評価をすることにより二つの凸領域に関する領域単調性を示すことができた。ラプラシアンの固有値と固有関数は熱方程式などの偏微分方程式の解の情報を知るうえで重要かつ基礎的であり領域単調性の今回の結果は領域の包含関係により解がどうなるかの一つの情報を与えるので意義はあると思われる。これら偏微分方程式の解への応用は今後の課題である。また領域単調性を示す際に用いた手法は球体によって良い被覆を取り、そこから空間の良い分割を作るといったものであった。この手法はこの研究課題題名と合致しており、研究実施計画通りに進んでいると思われる。領域単調性の証明の際に用いた球体によって良い被覆を取る手法を用いて非負リッチ曲率を持つリーマン多様体のノイマン固有値に関する上界を得ることができた。このノイマン固有値の評価はポリヤが提起した予想と関連していて、その予想が凸領域の場合に普遍定数倍で成り立つことがわかった。これは私が知る限りでは今までリーマン多様体の領域に関するノイマン固有値の体積を含めた評価の中ではベストな評価となっている。