測度距離空間の収束理論について

本年度は京都大学の塚本真輝氏とA.Gournay氏の手法を用いて,無限次元距離空間への1-Lipschitz写像の集中現象について研究した.まず,次のような驚くべき結果を示した.無限次元$\ell^p$単位球に$\ell^q$距離をいれた距離空間に対しては,1-Lipschitz関数の集中現象とその空間への1-Lipschitz写像の集中現象が同値となることを示した.但しp<qとしている.このことはpがq以下の場合は一般には成立しない奇妙な現象である.私はまた値域の空間が非常に大きくて,定義域の空間がある種の等質性を持り直径が大きいならば,1-Lipschitz写像の集中現象が起きないことを示した.このことを用いると上述の結果は上述の無限次元空間はそんなに大きくないことを示唆している.私はまた写像の集中現象の応用について研究した.特にcompact位相群やLevy群と呼ばれる位相群の作用への応用について結果を得た.Levy群はGromovとV.Milmanによって1983年に導入された群で,Haar確率測度に関してLevy族(1-Lipschitz関数の集中現象を起こす測度距離空間の列)となっているcompact部分群によって近似される位相群である.沢山の例が知られている.GromovとMilmanはLevy群がcompact距離空間に連続に作用しているときに,固定点を持つことを示した.私の研究ではcompactとは限らない距離空間に対するLevy群の作用を扱った.具体的には,樹木空間,Hadamard多様体,距離graph,二倍条件を満たす距離空間,無限次元$\ell^p$単位球に$\ell^q$距離をいれた距離空間(p<q)に対する作用について研究した.私のこれまでの研究で得られていた結果を用いてGromovとMilmanの議論を精密化することによって次の結果を得た.Levy群が上述の距離空間に有界かつ一様連続写像として作用するとき,そのLevy群のcompact部分群に対してそのOrbitの列で直径が0に収束するものがとれる大雑把にはこのことは大体固定点を持つことを意味している.二倍条件を満たす距離空間の場合はGromovとMilmanによるLevy群のcompact距離空間への連続作用の固定点定理の拡張となっている.

本年度は京都大学の塚本真輝氏とA.Gournay氏の手法を用いて,無限次元距離空間への1-Lipschitz写像の集中現象について研究した.まず,次のような驚くべき結果を示した.無限次元$\ell^p$単位球に$\ell^q$距離をいれた距離空間に対しては,1-Lipschitz関数の集中現象とその空間への1-Lipschitz写像の集中現象が同値となることを示した.但しp<qとしている.このことはpがq以下の場合は一般には成立しない奇妙な現象である.私はまた値域の空間が非常に大きくて,定義域の空間がある種の等質性を持り直径が大きいならば,1-Lipschitz写像の集中現象が起きないことを示した.このことを用いると上述の結果は上述の無限次元空間はそんなに大きくないことを示唆している.私はまた写像の集中現象の応用について研究した.特にcompact位相群やLevy群と呼ばれる位相群の作用への応用について結果を得た.Levy群はGromovとV.Milmanによって1983年に導入された群で,Haar確率測度に関してLevy族(1-Lipschitz関数の集中現象を起こす測度距離空間の列)となっているcompact部分群によって近似される位相群である.沢山の例が知られている.GromovとMilmanはLevy群がcompact距離空間に連続に作用しているときに,固定点を持つことを示した.私の研究ではcompactとは限らない距離空間に対するLevy群の作用を扱った.具体的には,樹木空間,Hadamard多様体,距離graph,二倍条件を満たす距離空間,無限次元$\ell^p$単位球に$\ell^q$距離をいれた距離空間(p<q)に対する作用について研究した.私のこれまでの研究で得られていた結果を用いてGromovとMilmanの議論を精密化することによって次の結果を得た.Levy群が上述の距離空間に有界かつ一様連続写像として作用するとき,そのLevy群のcompact部分群に対してそのOrbitの列で直径が0に収束するものがとれる大雑把にはこのことは大体固定点を持つことを意味している.二倍条件を満たす距離空間の場合はGromovとMilmanによるLevy群のcompact距離空間への連続作用の固定点定理の拡張となっている.