実簡約リー群のユニタリ表現の分岐則の研究

本研究の目的は表現の分岐則を求めること,すなわち与えられた群の(一般に無限次元の)既約表現を部分群に制限したときの既約表現への分解を記述することである.平成24年度に行った研究の成果は次のとおりである.まず昨年度から行ってきたZuckerman導来関手加群を対称対に関して制限した場合の分岐則について,得られた結果をまとめた.離散分解する導来関手加群は分類によって孤立型と離散系列型に分けられる.離散系列型とは離散分解するようなある離散系列表現が存在して,導来関手加群はその退化として表せる場合である.逆にこのような離散系列表現があれば,その退化はすべて離散分解するため,離散分解する導来関手加群のクラスの族が得られる.孤立型とはその他の散在的なクラスである.孤立型についてはD加群による実現から具体的な分岐公式を得た.離散系列型についてはD加群による実現を使った方法と離散系列表現の交代和による表示を使った方法とを組み合わせて分岐公式を得た.また,分岐則を求めるために用いた等質空間上の表現の実現をより一般的な設定で行った.これはHecht-Milicic-Schmid-Wolfの示したduality theoremの一般化になっている.さらに,不定値直交群O(1,n)の補系列表現の部分群O(1,m)×O(n-m)への制限の分岐則を求めた.この設定では表現が離散分解せず連続スペクトルを含むため,問題はより解析的である.この場合は補系列表現のL2モデルを用いることで,分解を2階常微分作用素の固有関数展開に帰着してPlancherel型の分解定理を得た.

本研究の目的は表現の分岐則を求めること,すなわち与えられた群の(一般に無限次元の)既約表現を部分群に制限したときの既約表現への分解を記述することである.平成24年度に行った研究の成果は次のとおりである.まず昨年度から行ってきたZuckerman導来関手加群を対称対に関して制限した場合の分岐則について,得られた結果をまとめた.離散分解する導来関手加群は分類によって孤立型と離散系列型に分けられる.離散系列型とは離散分解するようなある離散系列表現が存在して,導来関手加群はその退化として表せる場合である.逆にこのような離散系列表現があれば,その退化はすべて離散分解するため,離散分解する導来関手加群のクラスの族が得られる.孤立型とはその他の散在的なクラスである.孤立型についてはD加群による実現から具体的な分岐公式を得た.離散系列型についてはD加群による実現を使った方法と離散系列表現の交代和による表示を使った方法とを組み合わせて分岐公式を得た.また,分岐則を求めるために用いた等質空間上の表現の実現をより一般的な設定で行った.これはHecht-Milicic-Schmid-Wolfの示したduality theoremの一般化になっている.さらに,不定値直交群O(1,n)の補系列表現の部分群O(1,m)×O(n-m)への制限の分岐則を求めた.この設定では表現が離散分解せず連続スペクトルを含むため,問題はより解析的である.この場合は補系列表現のL2モデルを用いることで,分解を2階常微分作用素の固有関数展開に帰着してPlancherel型の分解定理を得た.