オペラードを用いた種々の写像空間の研究

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引き続きゲージ群のA_n型に関する研究を行った。本年度の研究は大きく分けてゲージ群のホモトピー型に関するものとA_n空間のホモトピー引き戻しに関するものがある。〈ゲージ群のホモトピー型について>pを奇素数としたとき、p局所的なゲージ群のホモトピー型について、岸本大祐氏(京都大)、河野明氏(同志社大)とともに共同研究を行った。ゲージ群のホモトピー型は、写像空間の中でも様々な例で研究されている対象であり、それ自体興味深い問題である。それだけでなく、本研究の研究対象であるゲージ群のA』空間としての研究の最初のステップ(n=1)であるという点において基本的である。・論文Mod p decompositions of gauge groupsについてこの論文ではゲージ群G(P)の適当な直積分解B_1(P)×・・・×B_<p-1>(P)が存在することを示し、各B_i(P)のホモトピー型を調べた。この結果の応用として、種々の主束のゲージ群のp局所化について、自明性や分類に関する新たな結果を得た。またゲージ群G(P)を切断の空間として持つPに随伴する位相群束adPの直積分解性とゲージ群G(P)の直積分解性の間にギャップがある例を初めて与えることに成功した。・論文On p-local homotopy types of gauge groupsについてこの論文での主要な結果は次のように述べられる。pを奇素数、Gを単連結単純Lie群でSpin(2k)と同型ではないものとし、n次元球面上の主G束Pのゲージ群G(P)を考える。このとき主束Pの分類写像S^<n-1>→GがGのホモトピー群の元として位数無限ならば、この元のpで割れる回数をν(P)で表すとき、nとGで決まる正の整数λが存在してG(P)のp局所的なホモトピー型はmax{ν(P),λ}の値で完全に決まる。この結果により球面上のSU(n)束のゲージ群の分類に関する新たな結果を得た。〈An空間のホモトピー引き戻しについて〉プレプリントHomotopy pullback of An-spaces and its applications to An-types of gauge groupsに対応する。その結果は次のように述べられる。An写像によるホモトピー引き戻しは再びAn空間の構造を持つ。特にこれは古典的なホモトピー引き戻しのリフト性質と同様の性質をAn写像に対して持つ。これをゲージ群のp局所化に対して用いることにより、Lie群Gに対し、十分次元の高い球面上の主G束のゲージ群An型はその各p局所化のAn型によって決まる、という結果を得た。