Higher homotopy normality and fiberwise homotopy

出張等の活動については新型コロナウイルス感染症対策での国内外の出張制限が緩和されたため、期間を延長していた他の研究課題に関する活動が主となった。本研究課題に関しても何件かは研究連絡等の出張を行ってはいる。今年度はホモトピー正規性（N_k(l)-map）に関する論文を完成させ、雑誌Journal of Topologyに掲載された。この論文は正規性の類似であるホモトピー正規性の一種としてN_k(l)-mapを複雑な高次ホモトピー構造を用いて定義し、理論的にも実際の計算においても扱いやすいファイバーワイズホモトピー論を用いた同値な言いかえを与えるものである。主結果については以前の研究課題の最後のほうで得ていたが、リー群のp局所的な正規性の評価を以前に得ていたものより大幅に改善できた。しかし最も基本的なSU(m)->SU(n)の場合ですらN_k(l)-mapかどうかわからない例が多く残っており、今後も検討を続ける必要がある。また、正規部分群による商が群になることの類似については、N_k(k)-mapのホモトピー商がH-空間となるための条件を得た。一方でN_∞(∞)-mapのホモトピー商がA無限大空間となるだろうという予想は、正しくないことが分かった。これはホモトピー正規性として深い高次ホモトピー構造を要請しなければならないことを意味しているので、その方面についても今後も研究する。同じようにループ空間の構造を扱う話題として、非コンパクト多様体のベクトル場の零点について加藤毅氏、岸本大祐氏と共同研究を行った。特に、非可算無限次元有理ベクトル空間に値をとる指数を定義し、Poincare-Hopfの定理を拡張した。この結果は以前に研究したfinite propagation unitary operatorのなす位相群と関係がありそうであるが、現時点では具体的な関係は不明である。

出張等の活動については新型コロナウイルス感染症対策での国内外の出張制限が緩和されたため、期間を延長していた他の研究課題に関する活動が主となった。本研究課題に関しても何件かは研究連絡等の出張を行ってはいる。今年度はホモトピー正規性（N_k(l)-map）に関する論文を完成させ、雑誌Journal of Topologyに掲載された。この論文は正規性の類似であるホモトピー正規性の一種としてN_k(l)-mapを複雑な高次ホモトピー構造を用いて定義し、理論的にも実際の計算においても扱いやすいファイバーワイズホモトピー論を用いた同値な言いかえを与えるものである。主結果については以前の研究課題の最後のほうで得ていたが、リー群のp局所的な正規性の評価を以前に得ていたものより大幅に改善できた。しかし最も基本的なSU(m)->SU(n)の場合ですらN_k(l)-mapかどうかわからない例が多く残っており、今後も検討を続ける必要がある。また、正規部分群による商が群になることの類似については、N_k(k)-mapのホモトピー商がH-空間となるための条件を得た。一方でN_∞(∞)-mapのホモトピー商がA無限大空間となるだろうという予想は、正しくないことが分かった。これはホモトピー正規性として深い高次ホモトピー構造を要請しなければならないことを意味しているので、その方面についても今後も研究する。同じようにループ空間の構造を扱う話題として、非コンパクト多様体のベクトル場の零点について加藤毅氏、岸本大祐氏と共同研究を行った。特に、非可算無限次元有理ベクトル空間に値をとる指数を定義し、Poincare-Hopfの定理を拡張した。この結果は以前に研究したfinite propagation unitary operatorのなす位相群と関係がありそうであるが、現時点では具体的な関係は不明である。