多重ガンマ関数と多重三角関数のq-類似

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1、多重フルビッツゼータ関数(バーンズの多重ゼータ関数)とその古典極限昨年度に引き続き、KurokawaやWakayamaなどによって構成された周期対称な多重フルビッツゼータ関数のq-類似を一般化して研究を行った。昨年度は2重と3重のフルビッツゼータ関数の場合に限り古典極限の挙動を詳しく計算したが、本年度はこれを拡張し、一般の多重版に対しても古典極限の挙動を得ることができた。具体的には、多重フルビッツゼータ関数のq-類似に対し、多重ベルヌーイ多項式とベータ関数の高階微分で構成される補正項を加えることで、真のq-類似(その古典極限が元の多重フルビッツゼータ関数に収束する関数)を与えることができるということを示した。成果を得るために、以下のことを行った。まず、いくつかの作用素を導入し、Euler-Maclaurinの和公式を用いて、発散項と収束項に分離して計算した。特に発散項と一般化超幾何関数の関係を、昨年の特殊なケースのみならず一般の多重版についても明らかにした。収束項についての特に重要な補題としては、2重ならq-類似を2階微分、3重ならq-類似の3階微分というように、あるパラメータについてその多重度回以上微分したq-類似の古典極限はその対応物に収束するという事実があげられる。最終的に、多重ガンマ関数、多重三角関数のq-類似について深い洞察を得ることは出来なかったが、そのベースとなる多重フルビッツゼータ関数のq-類似についての成果から、古典極限や無限積表示などは分かるので、今後の発展が見込まれる。これらの成果については論文投稿中である。