Geometrie von Hyperkähler-Mannigfaltigkeiten

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Die Forschungsarbeiten sollen zum Verständnis der Geometrie von (kompakten) Hyperkählermannigfaltigkeiten beitragen. Hyperkählermannigfaltigkeiten sind eine spezielle Klasse von komplexen Mannigfaltigkeiten und werden mit Mitteln der komplexen und der algebraischen Geometrie untersucht. Die Beschäftigung mit diesen Mannigfaltigkeiten reicht nicht sehr lange in die Vergangenheit zurück, und dementsprechend sind noch viele Fragen offen, von denen ich einige anzugehen gedenke. Interessant an dem Thema ist zudem die Verbindung zur Physik, speziell zur Mirror-Symmetry, wo Hyperkählermannigfaltigkeiten als Beispielmodelle dienen können. Die Konstruktion der Rozansky-Witten-Invarianten auf Hyperkählermannigfaltigkeiten geht auf physikalische Ideen zurück. Es ist geplant, weitere Eigenschaften und Anwendungsbereiche dieser Invarianten zu finden. Da die Chernzahlen der Mannigfaltigkeiten eine Untermenge dieser Invarianten sind, sollen deren Eigenschaften ebenfalls analysiert werden. Weiterhin interessieren mich mögliche Verallgemeinerungen der Beauville-Bogomolov-Form auf Hyperkählermannigfaltigkeiten.