多重三角関数,マーラー測度を用いたゼータ関数の研究

本年度は次の二点について研究を行った。1.多変数マーラー測度と特殊関数の研究マーラー測度とゼータ関数の特殊値の関係を調べるとき、マーラー測度を特殊関数で表すことは重要である。昨年度の研究で、ある型の多変数ローラン多項式のマーラー測度を多変数超幾何関数で表示を与えた。本年度の研究では、昨年度の研究で現れた多変数超幾何関数が古典的な超幾何関数で記述できないか考察を行ったが、様々な困難があることが判明した。そこで、昨年度とは別の型の多変数ローラン多項式のマーラー測度を考察し、これを一般超幾何関数で表示することに成功した。2.絶対収束域外におけるオイラー積の研究本研究課題の中心課題であるゼータ関数の特殊値の研究のため、ゼータ関数のオイラー積の収束域外の挙動、ゼータ関数の特殊値、ゼータ関数の零点、素数分布、の四点の関係を調べる研究に着手した。これはBirch Swinnerton-Dyer予想の原型に起源を持つものであり、楕円曲線のL関数の場合、Goldfeld、Kuo-R.Murty、K.Conradにより上記四点の関係が調べられていた。本研究はリーマンゼータ関数の場合について研究を進めた。その結果、臨界線上の一つの点におけるオイラー積の漸近挙動に関する主張と素数定理の誤差項のある評価が同値になること、そしてこれらの主張がリーマン予想よりも強い主張であることが分かった。また、臨界線より右の点におけるオイラー積の漸近挙動についても、素数分布、零点分布との関連性を考察した。さらに、上述のオイラー積の挙動に関する主張について数値実験を行い、主張を支持する数値的結果を得た。

本年度は次の二点について研究を行った。1.多変数マーラー測度と特殊関数の研究マーラー測度とゼータ関数の特殊値の関係を調べるとき、マーラー測度を特殊関数で表すことは重要である。昨年度の研究で、ある型の多変数ローラン多項式のマーラー測度を多変数超幾何関数で表示を与えた。本年度の研究では、昨年度の研究で現れた多変数超幾何関数が古典的な超幾何関数で記述できないか考察を行ったが、様々な困難があることが判明した。そこで、昨年度とは別の型の多変数ローラン多項式のマーラー測度を考察し、これを一般超幾何関数で表示することに成功した。2.絶対収束域外におけるオイラー積の研究本研究課題の中心課題であるゼータ関数の特殊値の研究のため、ゼータ関数のオイラー積の収束域外の挙動、ゼータ関数の特殊値、ゼータ関数の零点、素数分布、の四点の関係を調べる研究に着手した。これはBirch Swinnerton-Dyer予想の原型に起源を持つものであり、楕円曲線のL関数の場合、Goldfeld、Kuo-R.Murty、K.Conradにより上記四点の関係が調べられていた。本研究はリーマンゼータ関数の場合について研究を進めた。その結果、臨界線上の一つの点におけるオイラー積の漸近挙動に関する主張と素数定理の誤差項のある評価が同値になること、そしてこれらの主張がリーマン予想よりも強い主張であることが分かった。また、臨界線より右の点におけるオイラー積の漸近挙動についても、素数分布、零点分布との関連性を考察した。さらに、上述のオイラー積の挙動に関する主張について数値実験を行い、主張を支持する数値的結果を得た。