A study on multiplicative functions and zeros of zeta functions

リーマンゼータ関数の零点分布との関連を期待し、昨年度よりBettinとConreyによる三角関数の有限和に対する相互法則について研究を行っている。今年度、この方面で更なる進展があった。古典的な意味での相互法則はDedekind和に見られるように、xと1/xの間に簡明な関係式があるというものである。Bettin-Conreyの有限和は古典的な相互法則を満たさない。しかし、この有限和のxと1/xでの値を適当に組み合わせることで、xの関数として有限和単体よりも良い性質を持つ（xの正則関数として拡張できる）ことが知られている。この現象を相互法則とみなし、この正則関数のx=1におけるテイラー係数の漸近挙動を昨年度から調べていた。東北大学（現九州大学）研究員の村上友哉氏より、考察している積分そのものがある合流超幾何関数で記述できるとの指摘があった。考えている相互法則の問題が、合流超幾何関数のパラメータの一つを大きくしたときの漸近挙動を調べる古典的な問題に帰着されることの見通しがより明確となった。さらに、昨年度の研究では漸近級数の係数は、いくつかの母関数で定まる定数たちを複雑に組み合わせることで記述されていたが、村上氏の指摘により、漸近級数の係数を一つの母関数でより簡明な形で記述することができた。その副産物として、昨年度に数値計算を行った際に予想した漸近係数に関する性質を証明することができた。得られた結果を村上氏との共著で論文にまとめた。細部の再点検を行い、近いうちに投稿する予定である。

リーマンゼータ関数の零点分布との関連を期待し、昨年度よりBettinとConreyによる三角関数の有限和に対する相互法則について研究を行っている。今年度、この方面で更なる進展があった。古典的な意味での相互法則はDedekind和に見られるように、xと1/xの間に簡明な関係式があるというものである。Bettin-Conreyの有限和は古典的な相互法則を満たさない。しかし、この有限和のxと1/xでの値を適当に組み合わせることで、xの関数として有限和単体よりも良い性質を持つ（xの正則関数として拡張できる）ことが知られている。この現象を相互法則とみなし、この正則関数のx=1におけるテイラー係数の漸近挙動を昨年度から調べていた。東北大学（現九州大学）研究員の村上友哉氏より、考察している積分そのものがある合流超幾何関数で記述できるとの指摘があった。考えている相互法則の問題が、合流超幾何関数のパラメータの一つを大きくしたときの漸近挙動を調べる古典的な問題に帰着されることの見通しがより明確となった。さらに、昨年度の研究では漸近級数の係数は、いくつかの母関数で定まる定数たちを複雑に組み合わせることで記述されていたが、村上氏の指摘により、漸近級数の係数を一つの母関数でより簡明な形で記述することができた。その副産物として、昨年度に数値計算を行った際に予想した漸近係数に関する性質を証明することができた。得られた結果を村上氏との共著で論文にまとめた。細部の再点検を行い、近いうちに投稿する予定である。