Autoequivalences of derived categories and generalised Weyl group

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Die Theorie derivierter Kategorien wurde 1963 von Verdier begründet. Anfangs nur ein abstraktes Werkzeug für Spezialisten, sind derivierte (und triangulierte) Kategorien seit einiger Zeit eine Standardtechnik in verschiedenen Gebieten der Mathematik geworden, darunter Algebraische Geometrie, Darstellungstheorie und Algebraische Topologie. In der Algebraischen Geometrie ist das Interesse an ihnen vor allem durch zwei Entwicklungen gestiegen: Einerseits gibt Kontsevichs Homologische Mirrorsymmetrie-Vermutung eine erste Formulierung der Mirrorsymmetrie aus der Superstring-Theorie in der theoretischen Physik. Andererseits liefert die DK-Vermutung von Kawamata einen Ansatz, die wichtige birationale Klassifikation von Varietäten mit Hilfe derivierter Kategorien anzugehen. Es ist also nur konsequent, derivierte Kategorien von Varietäten oder Ringen als natürliche homologische Invarianten aufzufassen, die klassische Versionen wie Kohomologietheorien oder K-Gruppen verfeinern. In diesem Sinne sind die Automorphismengruppen derivierter Kategorien auch homologische Invarianten. Sie sind ’kleiner’ als die Kategorien, aber nur in seltenen Fällen explizit berechenbar. Die von Seidel und Thomas erstmals studierten sphärischen Objekte erzeugen eine Untergruppe, die oft besser zugänglich ist, da sie sich in vielen Fällen wie eine Spiegelungsgruppe verhält. Ziel dieses Projekts ist es, sphärische Objekte und die von ihnen erzeugten Untergruppen in verschiedenen geometrischen und algebraischen Fällen zu untersuchen. Zur Bedeutung sphärischer Objekte sollte erwähnt werden, dass sie sowohl im Mirrorsymmetrie-Kontext als auch in der birationalen Geometrie auftreten.