K3曲面族の周期とそれに関連する特殊関数及び微分方程式の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

昨年度の研究においてある偏極構造を持つような二つのパラメータを持つK3曲面族に注目し、その周期写像を研究し、その逆対応のテータ表示を与え、それが√5のヒルベルト・モジュラー関数を与えることを示しました。ところで、そもそもヒルベルト・モジュラー関数とは、実乗法を持つ主偏極アーベル曲面のモジュライの理論と深く結び付いて研究されてきたものです。そこで、今年度はこのK3曲面族の塩田・猪瀬構造を深く研究しました。則ち、当該K3曲面上に存在する適切なシンプレクティック対合を幾何学的に実現し、この対合でK3曲面を割ると、二つのパラメータを持つクンマー曲面族の具体的な定義方程式が得られます、,このクンマー曲面の二重被覆として√5の実乗法をもつアーベル曲面が存在します。よって、このクンマー曲面によって、われわれのK3曲面族と√5の実乗法をもつアーベル曲面族とが結びついている、と言えます。更に、このわれわれのクンマー曲面族はそれ自体幾何学的に興味深い対象となることがわかりました。このクンマー曲面は複素二変数空間の二次式と五次式で分岐する二重被覆として認識されるからです。クンマー曲面族の二つの複素パラメータは、これらの二次式と五次式の幾何学的な配置を与えるとみなすことができます。そして、クンマー曲面の周期写像は、ある二変数代数関数をこれら二次式と五次式とで囲まれた実二次元の部屋上で積分して得られる積分たちの比を多変数解析管巣として解析接続したもので与えられます。この結果により、古典的な楕円積分(リーマン球面の四点で分岐する二重被覆)と楕円モジュラー関数との間の対応が、二変数代数関数の積分と判別式が5の二次体から決まるヒルベルト・モジュラー関数との間の対応へと自然に拡張された、と言うことができます。以上で、多変数解析関数論、代数多様体のモジュライ、モジュラー関数・形式の数論、線型微分方程式らが緊密かつ自然に結びついた一つの非自明な実例を与えることができた、といえます。この研究結果について論文にまとめ、また学会・研究会などにおける発表も適切に行いました。