K3曲面族の周期とそれに関連する特殊関数及び微分方程式の研究

K3曲面族周期及相关特殊函数和微分方程的研究

• 批准号: 11J04746
• 负责人: 永野 中行
• 金额: $ 0.83万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2011
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2011 至 2012
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11J04746/
• 关键词: ヒルベルト・モジュラー関数; テータ関数; クンマー曲面; K3曲面; アーベル曲面; 周期写像; 超幾何微分方程式; トーリック多様体

昨年度の研究においてある偏極構造を持つような二つのパラメータを持つK3曲面族に注目し、その周期写像を研究し、その逆対応のテータ表示を与え、それが√5のヒルベルト・モジュラー関数を与えることを示しました。ところで、そもそもヒルベルト・モジュラー関数とは、実乗法を持つ主偏極アーベル曲面のモジュライの理論と深く結び付いて研究されてきたものです。そこで、今年度はこのK3曲面族の塩田・猪瀬構造を深く研究しました。則ち、当該K3曲面上に存在する適切なシンプレクティック対合を幾何学的に実現し、この対合でK3曲面を割ると、二つのパラメータを持つクンマー曲面族の具体的な定義方程式が得られます、,このクンマー曲面の二重被覆として√5の実乗法をもつアーベル曲面が存在します。よって、このクンマー曲面によって、われわれのK3曲面族と√5の実乗法をもつアーベル曲面族とが結びついている、と言えます。更に、このわれわれのクンマー曲面族はそれ自体幾何学的に興味深い対象となることがわかりました。このクンマー曲面は複素二変数空間の二次式と五次式で分岐する二重被覆として認識されるからです。クンマー曲面族の二つの複素パラメータは、これらの二次式と五次式の幾何学的な配置を与えるとみなすことができます。そして、クンマー曲面の周期写像は、ある二変数代数関数をこれら二次式と五次式とで囲まれた実二次元の部屋上で積分して得られる積分たちの比を多変数解析管巣として解析接続したもので与えられます。この結果により、古典的な楕円積分(リーマン球面の四点で分岐する二重被覆)と楕円モジュラー関数との間の対応が、二変数代数関数の積分と判別式が5の二次体から決まるヒルベルト・モジュラー関数との間の対応へと自然に拡張された、と言うことができます。以上で、多変数解析関数論、代数多様体のモジュライ、モジュラー関数・形式の数論、線型微分方程式らが緊密かつ自然に結びついた一つの非自明な実例を与えることができた、といえます。この研究結果について論文にまとめ、また学会・研究会などにおける発表も適切に行いました。

在去年的研究中，我们专注于具有两个参数的K3表面组，该参数具有一定的极化结构，并研究了其周期性图，并提供了其反对应关系的触及指标，表明它给出了Hilbert模块化函数的√5。顺便说一句，希尔伯特模块化函数已经与具有真实方法的主要极化亚伯表面的模量理论深入研究。因此，今年我们研究了这个K3表面部落的盐场和易生结构。换句话说，如果在K3表面上存在适当的齐完型配对，从而实现了K3表面，并且K3表面由该配对进行了划分，则获得了具有两个参数的Kunmar表面组的具体定义方程。具有√5的真实最大方法√5的真实最大方法作为此Kunmar的双层覆盖物。因此，可以说这个kummer表面将我们的K3表面部落与亚伯表面部落联系起来，亚伯表面部落具有真正的最大方法√5。此外，我们发现我们的Kummer Surface部落本身就是几何有趣的物体。这是因为该kummer表面被认为是双层涂层，该涂层分支在复杂双变量空间的二次和二次方程之间。可以认为Kummer表面组的两个复杂参数给出这些二次和五分之一方程的几何布置。通过分析和连接通过在真实的二维室内集成某个双变量代数函数获得的积分的比率，给出了Kunmah表面的周期图，并连接了这些二维方程和典型方程作为多变量分析管。可以说，这一结果可以说，经典的椭圆形积分（在Riemann Sphere上的四个点覆盖分支）与椭圆模块的功能自然扩展到双变量代数函数的积分之间的对应关系，而Hilbert模块化功能与歧视方程式，从Quadr Quadr firculr firculr firce确定。可以说，我们为多变量分析函数理论，代数歧管的模块，模块化函数和形式的数字理论以及与自然密切相关的线性微分方程的数字理论给出了一个非明显的例子。这项研究的结果总结在论文中，并在学术会议和其他会议上进行了适当的演讲。