分岐被覆と偏極アーベル多様体の幾何による周期写像の研究

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代数曲線の分岐被覆に対し，プリム多様体とよばれる偏極付きアーベル多様体が定義される．前年度までの研究で，プリム多様体と偏極を定めるある因子の組から元の代数曲線の分岐被覆を再構成することができることを示ていた．一方、一般の偏極アーベル多様体は代数曲線の分岐被覆とはならない．そこで令和４年度は、どのような偏極アーベル多様体が代数曲線の分岐被覆になりうるかという研究を行った．代数曲線の分岐２重被覆のプリム多様体はその双対アーベル多様体上にある条件を満たす代数曲線を含むため，この幾何的な条件を満たさないアーベル多様体はプリム多様体になりえないことを示した．また，偏極アーベル多様体の周期行列によりプリム多様体を特徴づける研究も進めた．主偏極アーベル多様体の中で，超楕円曲線のヤコビ多様体となるものをその周期行列のテータ定数を用いて特徴づけるMumfordによる結果が知られている．この研究に倣い，プリム多様体の周期行列が定めるテータ関数の性質を調べた．令和２年度の研究で，代数曲線の２重被覆に現れる２つの曲線のヤコビ多様体の指標付きテータ関数と、対応するプリム多様体の指標付きテータ関数の関係を具体的に記述していた．これにより，楕円曲線の２重被覆の場合に，プリム多様体の偏極が定める線形系の基点集合上にあるプリム多様体の2等分点を完全に決定することができた．逆にこの条件を満たす偏極アーベル多様体がプリム多様体となることを示すため，この条件を満たす偏極アーベル多様体の周期行列について，指標付きテータ関数が満たすいくつかの関係式を求めた．