リジッド幾何学とトロピカル幾何学の手法によるミラー対称性の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

今年度は昨年度に引き続きAbouzaid-Auroux-KatzarkovによるSYZミラー構成の具体例に関してより深く研究した。特にAbouzaid達の構成はトーリック多様体の部分多様体に沿ったブローアップに対するSYZミラーを与えることに着目してブローアップの深谷圏や量子コホモロジーに関する考察をSYZミラー構成を用いて行った。具体的には次のようなことを行った。まずホモロジカルミラー対称性予想に基づいてブローアップの深谷圏にベースの多様体の深谷圏が埋め込まれるという予想を立てた。さらにAbouzaid達の例においてブローアップのSYZミラーとして得られるLandau-Ginzburg模型とベースのトーリック多様体のSYZミラーとして得られるLandau-Ginzburg模型を比較することでこの予想の成立を強く示唆する結果を得た。また量子Gysin mapが満たすべき代数的な関係式を発見した。これらの結果を用いることで量子コホモロジー環の互いに直交する冪等元を構成することができ、それを用いてブローアップの量子コホモロジー環の構造を部分的に決定することができた。さらにこの議論と簡単な代数によって量子コホモロジー環が完全に決定できるような具体例を発見した。この計算で用いた量子Gysin mapを用いる手法は一般性の高いものであり応用できる例は他にも数多くあると思われる。またこれらの結果を論文としてまとめた。