グラフに付随するトーリックイデアルとグレブナー基底の研究

本年度は「マトロイドに付随するトーリックイデアルとグレブナー基底」について研究を行ってきた。マトロイドには「マトロイドに付随するトーリックイデアルは2次の二項式で生成される」という予想が存在する。この予想が肯定的に解決されているのは、一部のマトロイドのみである。更にグレブナー基底に関しては、良いグレブナー基底に対応する単項式順序を見つけることは難しい。そこで、既に解決されているマトロイド以外についても予想が成り立つのかどうか研究を行ってきた。マトロイドにはseries-parallel connection、2-sumといった2つのものを組み合わせる操作がある。この操作を行った際に「トーリックイデアルの生成系やグレブナー基底に変化はあるのか」という問題について考察した。この問題について計算実験や既存の結果を用いることにより「series-parallel connection、2-sumの操作で組み合わせたマトロイドのトーリックイデアルの生成系やグレブナー基底の次数は元のマトロイドのトーリックイデアルの生成系、グレブナー基底の次数を超えない」という結果を証明することに成功した。この結果を用いることにより新たなクラスにおいて予想が成り立つことを証明することができた。また、現段階では計算実験の結果ではあるが、正則マトロイドにおいても予想が成り立つことを確認した。更に、予想が成り立つのかどうか調べるには、3連結マトロイドにクラスを限定して予想が成り立つのかどうか調べれば良いこともわかった。

本年度は「マトロイドに付随するトーリックイデアルとグレブナー基底」について研究を行ってきた。マトロイドには「マトロイドに付随するトーリックイデアルは2次の二項式で生成される」という予想が存在する。この予想が肯定的に解決されているのは、一部のマトロイドのみである。更にグレブナー基底に関しては、良いグレブナー基底に対応する単項式順序を見つけることは難しい。そこで、既に解決されているマトロイド以外についても予想が成り立つのかどうか研究を行ってきた。マトロイドにはseries-parallel connection、2-sumといった2つのものを組み合わせる操作がある。この操作を行った際に「トーリックイデアルの生成系やグレブナー基底に変化はあるのか」という問題について考察した。この問題について計算実験や既存の結果を用いることにより「series-parallel connection、2-sumの操作で組み合わせたマトロイドのトーリックイデアルの生成系やグレブナー基底の次数は元のマトロイドのトーリックイデアルの生成系、グレブナー基底の次数を超えない」という結果を証明することに成功した。この結果を用いることにより新たなクラスにおいて予想が成り立つことを証明することができた。また、現段階では計算実験の結果ではあるが、正則マトロイドにおいても予想が成り立つことを確認した。更に、予想が成り立つのかどうか調べるには、3連結マトロイドにクラスを限定して予想が成り立つのかどうか調べれば良いこともわかった。