指数定理と余随伴軌道に関する研究

等質空間上の不連続群の作用，等質空間を局所的なモデルとする多様体について研究を行った．多様体 M が等質空間 G/H を局所的なモデルとするとき，対 (g, H) の（自明表現を係数とする）相対コホモロジーから M の de Rham コホモロジーへの自然な準同型が定まる．この準同型を調べることで，与えられた等質空間を局所的なモデルとするコンパクト多様体の存在に対する障害が得られることが，小林-小野（1990）などの研究によって分かっている．本年度の研究で，小林（1989）の予想「rank G - rank K < rank H - rank K_H を満たす簡約型等質空間 G/H はコンパクトなClifford-Klein形を持たない」を肯定的に解決した．以前の研究によって，簡約型等質空間 G/H を局所的なモデルとするコンパクト多様体が存在するためには，(g, H) の相対コホモロジーから (g, K_H) の相対コホモロジーへの自然な準同型が単射でなければならないことが分かっていた．本年度の研究では，この準同型が単射になるための簡単な必要十分条件を不変式論の言葉で与えた（証明には，Weil 代数の転入写像から定まる pure Sullivan 代数を用いて Lie 環の相対コホモロジーが具体的に計算できる，という H. Cartan, C. Chevalley, J.-L. Koszul, A. Weil らの結果を用いる）．上述の予想はこれから簡単に従う．

等質空間上の不連続群の作用，等質空間を局所的なモデルとする多様体について研究を行った．多様体 M が等質空間 G/H を局所的なモデルとするとき，対 (g, H) の（自明表現を係数とする）相対コホモロジーから M の de Rham コホモロジーへの自然な準同型が定まる．この準同型を調べることで，与えられた等質空間を局所的なモデルとするコンパクト多様体の存在に対する障害が得られることが，小林-小野（1990）などの研究によって分かっている．本年度の研究で，小林（1989）の予想「rank G - rank K < rank H - rank K_H を満たす簡約型等質空間 G/H はコンパクトなClifford-Klein形を持たない」を肯定的に解決した．以前の研究によって，簡約型等質空間 G/H を局所的なモデルとするコンパクト多様体が存在するためには，(g, H) の相対コホモロジーから (g, K_H) の相対コホモロジーへの自然な準同型が単射でなければならないことが分かっていた．本年度の研究では，この準同型が単射になるための簡単な必要十分条件を不変式論の言葉で与えた（証明には，Weil 代数の転入写像から定まる pure Sullivan 代数を用いて Lie 環の相対コホモロジーが具体的に計算できる，という H. Cartan, C. Chevalley, J.-L. Koszul, A. Weil らの結果を用いる）．上述の予想はこれから簡単に従う．