Complex structures and non-Kaehler structures on compact solvmanifolds

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ケーラー構造の一般化の一つである局所共形ケーラー構造がある。局所共形ケーラー構造は局所変形することで、ケーラー構造となる。この局所変形の際に用いた局所データを集めることで、局所共形ケーラー多様体上の複素直線束を構成できる。令和4年度は、ベキ零多様体の具体例である小平-サーストン多様体を参考にし、左不変な複素構造を持つ可解多様体上の局所共形ケーラー構造について研究を行った。その結果、可解多様体に局所共形ケーラー構造が入るならば、実ベクトルとしては自明となる複素平坦直線束が存在しなければならないことを示せた。方法の一つとしては古典的な研究結果を調査し、Chevalleyや松島与三氏などの1940年代,50年代の可解リー群の位相構造の研究結果を組み合わせた用いた。また他の方法としては、直線束の話を群の表現論の話に書き換え、群の表現の拡張に関する言い換えを行うことで得られた。一方、令和３年度以降の研究目的の一つである、非ケーラー構造をもつコンパクト複素可解多様体の系列的な例の構成についても、系列的な例の構成が行えた。令和３年度の研究実績として、楕円曲面の場合を参考にし、複数の余コンパクト離散部分群を持つ可解多様体の例の構成を行えたが、令和４年度はベキ零リー群と異なり、可解リー群は剛性定理を持たないことを用いて、複数の余コンパクト離散部分群を持つ可解多様体の例の構成を行えた。つまり、余コンパクト離散部分群を持つことが知られている可解リー群に対し、同じ群を余コンパクト離散部分群にもつ別の可解リー群を構成し、新しく作った可解リー群について、他の余コンパント離散部分群を構成することで、系列的な例の構成が行えた。調査として、位相群の左Haar測度、等質空間の相対不変測度等を行い、令和5年度の研究準備も行えた。