Nonlinear Partial Differential Equations on Metric Spaces

度量空间上的非线性偏微分方程

• 批准号: 22K03396
• 负责人: 柳 青
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03396/
• 关键词: 距離空間; アイコナール方程式; 粘性解; ハミルトン・ヤコビ方程式; 微分ゲーム; 非線形偏微分方程式

一般の測度距離空間において，非有界で不連続な非斉次項を持つアイコナール方程式について研究した．ユークリッド空間上の不連続なハミルトン・ヤコビ方程式の粘性解理論に関しては，多くの先行研究があるが，方程式の有界性が仮定される場合がほとんどであった．本研究では，非斉次項が変数によって無限大への発散を許す場合に着目し，一般の距離空間において方程式の解の概念及びそれに基づいたディリクレ境界値問題のモンジュ解の一意存在性理論を確立した．我々の手法の鍵は，空間内の曲線に沿った線積分を用いて，非斉次項を組み込んだ新たな距離を構築することである．この新たな距離に取り替えることにより，方程式を標準的なアイコナール方程式に変換することが可能となった．このように得られた解の連続性は一般には期待できないが，空間及び非斉次項の正則性に関する仮定の下で，解のヘルダー連続性を示せた．これらの研究結果をまとめた論文は現在投稿準備中である．関連の課題として，距離空間におけるハミルトン・ヤコビ方程式と微分ゲームの関連性も明らかにした．空間内の曲線を制御として加えることにより，ユークリッド空間で広く知られるゲーム理論的解釈を一般の距離空間まで拡張することに成功した．この成果に関する論文は，国際ジャーナルMinimax Theory Appl.に掲載された．アイコナール方程式は，無限大ラプラシアンの固有値問題に関する研究にも応用がある．私たちはモンジュ解の概念を取り入れ，一般の距離空間における無限大ラプラシアンの主固有値と固有関数の存在を証明し，既存の研究結果を一般化した．この結果をまとめた論文は，国際誌Adv. Nonlinear Stud.に掲載された．

我们研究了具有无限且不连续的非对称项的Eikonal方程。以前有许多关于欧几里得空间中不连续的汉密尔顿 - 雅各布方程的粘性解理论的研究，但在大多数情况下，假定方程的界限。在这项研究中，我们重点介绍了非循环术语允许通过变量差异到无限的情况，并确定了对一般距离空间中方程的概念以及基于它们的Dirichlet边界价值问题的Montge解决方案的独特存在理论。我们方法的关键是使用沿空间曲线的线积分构建新距离，并结合非圆的项。通过替换这个新距离，可以将方程式转换为标准的Eikonal方程。尽管通常不期望以这种方式获得的溶液的连续性，但可以在空间和非圆项的规则性的假设下显示溶液的Helder连续性。总结这些研究结果的论文目前正在准备提交。作为一个相关问题，我们还阐明了汉密尔顿 - 雅各比方程与距离空间中的差异游戏之间的关系。通过将曲线添加为控制，我们成功地将在欧几里得空间中广为人知的游戏理论解释扩展到了一般距离空间。有关这一发现的论文发表在《国际杂志》杂志Minimax理论应用中。 eiconal方程也已应用于无限laplacians的特征值问题的研究。我们采用了Montje解决方案的概念，证明了一般距离空间中无限laplacians的主要特征值和特征性的存在，并概括了现有研究的结果。该论文总结了这些结果，发表在《国际杂志》 Adv中。非线性螺柱。

项目成果

University of Cincinnati(米国)

辛辛那提大学（美国）

Principal eigenvalue problem for infinity Laplacian in metric spaces

度量空间中无穷拉普拉斯算子的主特征值问题

• DOI: 10.1515/ans-2022-0028
• 发表时间: 2022
• 期刊: Advanced Nonlinear Studies
• 影响因子: 1.8
• 作者: 中島俊;Matsumoto Yuya;Qing Liu and Ayato Mitsuishi
• 通讯作者: Qing Liu and Ayato Mitsuishi