Nonlinear Partial Differential Equations on Metric Spaces

一般の測度距離空間において，非有界で不連続な非斉次項を持つアイコナール方程式について研究した．ユークリッド空間上の不連続なハミルトン・ヤコビ方程式の粘性解理論に関しては，多くの先行研究があるが，方程式の有界性が仮定される場合がほとんどであった．本研究では，非斉次項が変数によって無限大への発散を許す場合に着目し，一般の距離空間において方程式の解の概念及びそれに基づいたディリクレ境界値問題のモンジュ解の一意存在性理論を確立した．我々の手法の鍵は，空間内の曲線に沿った線積分を用いて，非斉次項を組み込んだ新たな距離を構築することである．この新たな距離に取り替えることにより，方程式を標準的なアイコナール方程式に変換することが可能となった．このように得られた解の連続性は一般には期待できないが，空間及び非斉次項の正則性に関する仮定の下で，解のヘルダー連続性を示せた．これらの研究結果をまとめた論文は現在投稿準備中である．関連の課題として，距離空間におけるハミルトン・ヤコビ方程式と微分ゲームの関連性も明らかにした．空間内の曲線を制御として加えることにより，ユークリッド空間で広く知られるゲーム理論的解釈を一般の距離空間まで拡張することに成功した．この成果に関する論文は，国際ジャーナルMinimax Theory Appl.に掲載された．アイコナール方程式は，無限大ラプラシアンの固有値問題に関する研究にも応用がある．私たちはモンジュ解の概念を取り入れ，一般の距離空間における無限大ラプラシアンの主固有値と固有関数の存在を証明し，既存の研究結果を一般化した．この結果をまとめた論文は，国際誌Adv. Nonlinear Stud.に掲載された．

一般の測度距離空間において，非有界で不連続な非斉次項を持つアイコナール方程式について研究した．ユークリッド空間上の不連続なハミルトン・ヤコビ方程式の粘性解理論に関しては，多くの先行研究があるが，方程式の有界性が仮定される場合がほとんどであった．本研究では，非斉次項が変数によって無限大への発散を許す場合に着目し，一般の距離空間において方程式の解の概念及びそれに基づいたディリクレ境界値問題のモンジュ解の一意存在性理論を確立した．我々の手法の鍵は，空間内の曲線に沿った線積分を用いて，非斉次項を組み込んだ新たな距離を構築することである．この新たな距離に取り替えることにより，方程式を標準的なアイコナール方程式に変換することが可能となった．このように得られた解の連続性は一般には期待できないが，空間及び非斉次項の正則性に関する仮定の下で，解のヘルダー連続性を示せた．これらの研究結果をまとめた論文は現在投稿準備中である．関連の課題として，距離空間におけるハミルトン・ヤコビ方程式と微分ゲームの関連性も明らかにした．空間内の曲線を制御として加えることにより，ユークリッド空間で広く知られるゲーム理論的解釈を一般の距離空間まで拡張することに成功した．この成果に関する論文は，国際ジャーナルMinimax Theory Appl.に掲載された．アイコナール方程式は，無限大ラプラシアンの固有値問題に関する研究にも応用がある．私たちはモンジュ解の概念を取り入れ，一般の距離空間における無限大ラプラシアンの主固有値と固有関数の存在を証明し，既存の研究結果を一般化した．この結果をまとめた論文は，国際誌Adv. Nonlinear Stud.に掲載された．