ミラー対称性による齋藤構造における実，整構造の研究

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本研究は高橋篤史氏との共同研究である．軌道体射影直線の連接層のなす導来圏と三角同値な，蛸と呼ばれる関係式付き経路代数の有限生成加群のなす導来圏から，一般化ルート系が得られる．このルート系に付随するワイル群をカスピダルワイル群と呼ぶ．カスピダルワイル群をさらに無限巡回群で拡大した，拡大カスピダルワイル群を考える．カスピダルワイル群は，アフィン化されたカッツ・ムーディー・ルート系のワイル群の一種である．このため，ルーイエンハによるカッツ・ムーディー・ルート系のワイル群に対する指数型不変式論を用いることで，拡大カスピダルワイル群に対する不変式論が構成される．本研究の目的はこの拡大カスピダルワイル群の軌道空間の接層に，一般化ルート系の交叉形式を，フロベニウス多様体の意味の交叉形式として持つようなフロベニウス構造を構成することを目的としている．このとき，(i)このようなフロベニウス多様体が存在すれば，同型を除いて一意であり，(ii)このフロベニウス多様体は，軌道体射影直の軌道体GW理論から構成されるフロベニウス多様体と同型であることが分かった．また，このフロベニウス構造は，上述の導来圏の安定性条件の空間に自然に入るものと予想している．齋藤の有限ワイル群の不変式論における平坦構造の構成と同様に，「単位方向による交叉形式の二階微分が消える」ことがフロベニウス多様体になるための必要十分条件となる．これは，「ディスクリミナントの定義方程式を，単位方向を定める座標で書き直すと，一般化ルート系の階数と同じ次数のモニック多項式となる」ことと同値である．この命題の証明を現在試みている