幾何学的不変式論および確率論的手法を用いたケーラー・リッチソリトンの研究

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今年度は次の２つの結果を得ることができた：結果1：hyperkahler多様体内の平均曲率流の収束結果2：coupled Kahler-Einstein (cKE)計量の力学系による構成結果1について．Calabi-Yau多様体M内における正則曲線の数え上げ問題は，Gromov-Witten不変量と深く関係しており，また，物理学の超弦理論における重要な研究対象の1つでもある．とりわけ，「与えられたホモロジー類の中に，シンプレクティックイソトピー同値類がどのくらい含まれるか？」という問題が，1990年代後半にTian，Yauによって提唱されている．考察対象を4次元に制限すれば，その中のシンプレクティック極小曲面は正則曲線を与えることが知られているので，平均曲率流によるアプローチが有効である．私は，東北大AIMRの國川慶太氏との共同研究により，Mのhyperkahler構造（Mに付随するツイスター族）を用いて，M内の任意の向きづけられた部分閉曲面Lに対して，「ツイスターエネルギー」という新しいエネルギーを導入した．そして，このツイスターエネルギーが十分に小さい任意のLから出発する平均曲率流は，ある正則曲線に滑らかに収束することを示した．結果2について．cKE計量は，Kahler-Einstein計量の多体問題への一般化として，Hultgren-Witt Nystromによって2016年に導入された計量である．cKE計量は与えられたケーラー類の中で（もし存在すれば）一意的であることが知られているが，力学的安定性との関わりについてはよく分かっていなかった．そこで，私は，Ricci曲率作用素を含むKahler計量の空間上の新たな力学系「coupled Ricci iteration」を導入し，与えられた任意の初期値に対し，この力学系がcKE計量に滑らかに収束することを示した．