双曲コクセター多面体の実現可能性と増大度

双曲空間内の有限個の閉半空間の共通部分であり、内部が空でないものを双曲多面体という。双曲多面体の面同士のなす角が、2以上の自然数nを用いてπ/nと表される時、双曲コクセター多面体という。双曲コクセター多面体の面に関する鏡映は、双曲空間の等長変換からなる離散部分群を生成することが知られている。こうして得られる離散群を双曲コクセター群という。 本年度は、双曲コクセター多面体の実現可能性と関連して、双曲コクセター群の局所剛性についての研究を行った。双曲空間の等長変換群 G と、Gの離散部分群Γに対して、ΓからGへの群準同型写像の全体Hom(Γ, G)をΓの表現空間という。G はHom(Γ, G)に共役として作用し、その下で包含写像のGによる軌道が開集合となるときΓは局所剛性を持つという。Kerckhoff-Stormにより、5次元以上の測地境界を持ち体積有限な完備双曲多様体の基本群は局所剛性を持つと予想されている。5次元の場合に、Kerckhoff-Stormの予想を満たす双曲多様体の初めての例が得られた。構成のアイデアは、Kolpakov-Slavichによる双曲コクセター多面体の彩色を用いた双曲多様体の構成から、双曲多様体の局所剛性を双曲コクセター群の局所剛性に帰着させたことである。また、G-S.Lee, L.Marquis, S.Rioloらとの共同研究により、4次元の場合に局所剛性を持たない双曲コクセター群を構成した。特に、彩色を用いた双曲多様体の構成により、２つの完備体積有限な4次元双曲多様体を繋ぐ、4次元コンパクト双曲錐多様体の変形族を構成した。この結果は4次元での双曲Dehn充填と呼ぶべきものとなっている。

双曲空間内の有限個の閉半空間の共通部分であり、内部が空でないものを双曲多面体という。双曲多面体の面同士のなす角が、2以上の自然数nを用いてπ/nと表される時、双曲コクセター多面体という。双曲コクセター多面体の面に関する鏡映は、双曲空間の等長変換からなる離散部分群を生成することが知られている。こうして得られる離散群を双曲コクセター群という。 本年度は、双曲コクセター多面体の実現可能性と関連して、双曲コクセター群の局所剛性についての研究を行った。双曲空間の等長変換群 G と、Gの離散部分群Γに対して、ΓからGへの群準同型写像の全体Hom(Γ, G)をΓの表現空間という。G はHom(Γ, G)に共役として作用し、その下で包含写像のGによる軌道が開集合となるときΓは局所剛性を持つという。Kerckhoff-Stormにより、5次元以上の測地境界を持ち体積有限な完備双曲多様体の基本群は局所剛性を持つと予想されている。5次元の場合に、Kerckhoff-Stormの予想を満たす双曲多様体の初めての例が得られた。構成のアイデアは、Kolpakov-Slavichによる双曲コクセター多面体の彩色を用いた双曲多様体の構成から、双曲多様体の局所剛性を双曲コクセター群の局所剛性に帰着させたことである。また、G-S.Lee, L.Marquis, S.Rioloらとの共同研究により、4次元の場合に局所剛性を持たない双曲コクセター群を構成した。特に、彩色を用いた双曲多様体の構成により、２つの完備体積有限な4次元双曲多様体を繋ぐ、4次元コンパクト双曲錐多様体の変形族を構成した。この結果は4次元での双曲Dehn充填と呼ぶべきものとなっている。