ケーラー・リッチ・ソリトンを持つファノ代数多様体のモジュライ空間の研究

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本年度はまず、報告者が導入し構築してきたμ-cscK計量やμK安定性の理論の応用として、ケーラー・リッチ・ソリトンを持つファノ多様体のモジュライ空間の代数性を証明した。その後、μ-cscK計量やμK安定性の理論をさらに探究し、ペレルマンのμエントロピーとμ-cscK計量の関係、およびその非アルキメデス的鏡像を見出し、μエントロピーに対するドナルドソン型の不等式を証明した。まず前者の結果は、昨年度の研究で構成したCM直線束の一般化にあたる同変特性類を応用したものである。μ二木不変量をウェイトに持つこの特性類の存在とChen-Wangによる脱安定退化の有界性を用いて、μK半安定な多様体の族が変形族のなかで構成可能集合を成す、ということが示せる。これをこれまでの研究で示したμK半安定族の解析的開性と合わせると、μK半安定族のザリスキ開性が従う。これによりμK半安定族のなすモジュライ・スタックが代数的スタックになることが示せる。ここから代数的モジュライ空間が構成できることは、報告者の3年前の研究によりすでに明らかになっていたことである。後者の結果はμ-cscK計量とμK半安定性に関する枠組みに関して既存理論の類似の域を超えた独自性を示している。リッチ・フローの研究で見出されたペレルマンのW汎関数をケーラー計量の空間の接束上の汎関数と理解し、ケーラー・ポテンシャルの空間の測地線に沿った解析をすることで、μ-cscK計量に関する新しい結果を得た。まず、W汎関数の臨界点がμ-cscK計量であること、μ-cscK計量の定義に現れる``逆温度''パラメーターλが非正のときμエントロピーの臨界点（=最小値）がμ-cscK計量になることを確認した。さらに、テスト配位に対して同変交点数によって与えられる不変量（NA μエントロピー）の上限がμエントロピーの最小値の下限を評価することを示した。