保型表現・L関数の研究

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P.B.Garrettによる積分表示の発見(1985)により、GL(2)の保型表現の3つ組から定義されるいわゆるtriple L-functionの研究の道が開かれた。筆者が学位論文で決定したtriple L-functionの極の位置を用いて保型形式の持ち上げの存在を示すにはtriple L-functionのgamma因子を計算する必要がある。この計算については次のような結果を得て現在論文を投稿中である。(1)zeta積分の最大公約数として定義されたgamma因子はLanglands予想によって予言されていたものと極の位置が完全に一致している。(2)特に不分岐な主系列表現の3つ組、あるいは離散系列表現の3つ組に対応する場合にはLanglands予想によって予言されていたgamma因子はzeta積分として表される。特に、(2)において離散系列表現の1つの重みが他の2つの重みより大きい場合には、そうでない場合と比べてgamma因子の形が異なることが予想されていたがこれを肯定的に解決した。また、離散系列表現の3つ組の場合には局所関数等式が精密な形で成り立つことを示した。この計算をtriple L-functionの特殊値の研究に応用することは将来の問題である。一方、古典群上のEisenstein級数を許しく研究するには、いわゆるtheta関数との関連を調べることが不可欠である。具体的には、Eisenstein級数の特殊値あるいは留数をtheta関数によって表示するSiegel-Weil型の公式を示すことが重要である。これについては、特殊な場合にEisenstein級数の留数をtheta関数で表すSiegel-Weil型の公式を証明した論文を雑誌に発表した。さらに一般的な場合にこの公式を拡張することは将来の課題である。その際筆者が計算したEisenstein級数のFourier-jacobi係数の公式は有用であると思われる。