決定論的ビリヤード微分ゲームと放物型境界値問題

确定性台球微分博弈与抛物线边值问题

• 批准号: 09J07428
• 负责人: 柳 青
• 金额: $ 0.9万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2009
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2009 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09J07428/
• 关键词: 粘性解; 微分ゲーム; 最適制御; 保存則方程式; Hamilton-Jacobi方程式; 漸近挙動; 非線型方程式; 平均曲率流; レベルセット法

本研究は完全非線形方程式の特異問題を対象として考察する。二つの部分から構成されている。第一部では微分ゲームによる手法で方程式の解の近似を行い、解の特異的性質を調べる。第二部では結晶成長に現れる非強圧的Hamilton-Jacobi方程式の解の漸近挙動を考察する。平成22年度では、主に以下のような成果をあげた。微分ゲームに関しては、保存則方程式の解の近似問題も考えた。今までのゲーム理論で扱える方程式は未知関数について単調であるので、方程式の粘性解が連続である場合がほとんどである。未知関数について単調でない方程式には通常の粘性解理論が適用できず、特異問題としてのゲーム理論による近似が大変興味深い問題となる。本年度ではこの様な方程式の代表である保存則方程式に対して空間一次元の場合で離散スキームを試み、初期値が単調減少の場合に不連続な解の近似解を構成した。非強圧的Hamilton-Jacobi方程式の解の長時間挙動についての研究も続けた。昨年度の結果と違い、今回考えたのは空間多次元の初期値問題である。この場合に考える定常問題の境界条件は特異Neumann型である。与えられたHamiltonianから有効領域とその領域での成長速度がどのように決まるかについて明らかにした。結晶成長のステップ源と対応するのはWeak KAM理論のAubry集合であることも分かった。最後に、より一般的なErgodic理論の観点から我々が示した長時間挙動に関する結果を分析し、有効領域の外での長時間挙動についても部分的な結果を与えた。

In this study, the special problems of completely nonlinear equations are investigated. Two parts of the structure are composed of two parts. The first part is about the approximation of the solution of the equation and the adjustment of the specific properties of the solution. In the second part, the asymptotic behavior of the solution of the Hamilton-Jacobi equation is investigated. Heisei 22 years later, the main achievements Differential equations are related to the problem of approximation of solutions to conservation equations. In this paper, the theory of viscosity is discussed. The equation is not unknown. The viscosity solution of the equation is continuous. Unknowns, equations, general viscosity solutions, special problems, approximate problems, etc. This year, the representative of the equation is preserved, and the approximate solution of the discrete solution is formed for the case of the first order element in space, and the initial value is reduced. A Study on the Solution of Hamilton-Jacobi Equation with Non-strong Pressure and Long-time Motion The results of yesterday's year are in violation, and the results of this year's review are in violation of the initial problems of multiple spatial elements. The condition of steady state problem is special Neumann type. The growth rate of Hamiltonian fields is higher than that of other fields. Crystal growth is the source of the Weak KAM theory of Aubry set. Finally, the general Ergodic theory points out that the results of long-term motion are analyzed, and the results of long-term motion outside the domain are analyzed.

项目成果

On the weak comparison principle for elliptic equations of mean curvature type

平均曲率型椭圆方程的弱比较原理

• 发表时间: 2010
• 作者: LIU;Qing
• 通讯作者: Qing

Large-time asymptotics for a class of non-coercive Hamilton-Jacobi equations appearing in crystal growth

晶体生长中一类非强制Hamilton-Jacobi方程的大时渐近

• 发表时间: 2010
• 作者: LIU;Qing
• 通讯作者: Qing

A billiard-based game interpretation of the Neumann problem for the curve shortening equation

基于台球的游戏解释曲线缩短方程的诺伊曼问题

• 发表时间: 2009
• 期刊: Adv. Differential Equations 14
• 作者: Y.Giga;Q.Liu
• 通讯作者: Q.Liu

On the game-theoretic approach to motion by curvature with Neumann boundary condition

具有诺依曼边界条件的曲率运动的博弈论方法

• 发表时间: 2009
• 作者: LIU;Qing
• 通讯作者: Qing

On an elementary approach to optimal control with Neumann boundary condition

具有诺依曼边界条件的最优控制的基本方法

• 发表时间: 2010
• 期刊: 京都大学数理解析研究所講究録
• 作者: LIU;Qing
• 通讯作者: Qing