決定論的ビリヤード微分ゲームと放物型境界値問題

确定性台球微分博弈与抛物线边值问题

基本信息

批准号：
09J07428
负责人：
柳青
金额：
$ 0.9万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2009
资助国家：
日本
起止时间：
2009 至 2010
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究は完全非線形方程式の特異問題を対象として考察する。二つの部分から構成されている。第一部では微分ゲームによる手法で方程式の解の近似を行い、解の特異的性質を調べる。第二部では結晶成長に現れる非強圧的Hamilton-Jacobi方程式の解の漸近挙動を考察する。平成22年度では、主に以下のような成果をあげた。微分ゲームに関しては、保存則方程式の解の近似問題も考えた。今までのゲーム理論で扱える方程式は未知関数について単調であるので、方程式の粘性解が連続である場合がほとんどである。未知関数について単調でない方程式には通常の粘性解理論が適用できず、特異問題としてのゲーム理論による近似が大変興味深い問題となる。本年度ではこの様な方程式の代表である保存則方程式に対して空間一次元の場合で離散スキームを試み、初期値が単調減少の場合に不連続な解の近似解を構成した。非強圧的Hamilton-Jacobi方程式の解の長時間挙動についての研究も続けた。昨年度の結果と違い、今回考えたのは空間多次元の初期値問題である。この場合に考える定常問題の境界条件は特異Neumann型である。与えられたHamiltonianから有効領域とその領域での成長速度がどのように決まるかについて明らかにした。結晶成長のステップ源と対応するのはWeak KAM理論のAubry集合であることも分かった。最後に、より一般的なErgodic理論の観点から我々が示した長時間挙動に関する結果を分析し、有効領域の外での長時間挙動についても部分的な結果を与えた。

这项研究检查了完全非线性方程的奇异问题。它由两个部分组成。在第一部分中，使用差分游戏方法近似该方程的解，并检查了解决方案的特定属性。在第二部分中，我们考虑了出现在晶体生长中的非压缩汉密尔顿 - 雅各比方程溶液的渐近行为。在2010财年，我们获得了以下主要结果：关于差异化游戏，我们还考虑了保护法方程的近似解决方案。由于到目前为止可以在游戏理论中使用的方程式对于未知功能是单调的，因此方程式的粘性解决方案主要是连续的。通常的粘度解决方案理论不能应用于未知函数并非单调的方程式，而使用游戏理论作为一个奇异问题的近似是一个非常有趣的问题。今年，在保护法方程的一维空间维度的情况下，我们尝试了一个离散方案，该方程是此类方程的代表性示例，并在单调降低初始值时构建了不连续解决方案的近似解决方案。我们还继续研究对非压缩汉密尔顿 - 雅各比方程解决方案的长期行为。与去年的结果不同，我们对此时间的看法是空间多维初始价值问题。在这种情况下，稳态问题的边界条件是奇异的诺伊曼类型。我们已经阐明了有效区域以及该地区的增长率如何从给定的哈密顿量确定。还发现，晶体生长步骤的来源对应于弱KAM理论的Aubry集。最后，我们分析了我们根据更一般的千古理论提出的长期行为的结果，从而为有效领域之外的长期行为提供了部分结果。

项目成果

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On the weak comparison principle for elliptic equations of mean curvature type

平均曲率型椭圆方程的弱比较原理

DOI：
发表时间：
2010
期刊：
影响因子：
0
作者：
LIU;Qing
通讯作者：
Qing

Large-time asymptotics for a class of non-coercive Hamilton-Jacobi equations appearing in crystal growth

晶体生长中一类非强制Hamilton-Jacobi方程的大时渐近

DOI：
发表时间：
2010
期刊：
影响因子：
0
作者：
LIU;Qing
通讯作者：
Qing

A billiard-based game interpretation of the Neumann problem for the curve shortening equation

基于台球的游戏解释曲线缩短方程的诺伊曼问题

DOI：
发表时间：
2009
期刊：
Adv. Differential Equations 14
影响因子：
0
作者：
Y.Giga;Q.Liu
通讯作者：
Q.Liu

On the game-theoretic approach to motion by curvature with Neumann boundary condition

具有诺依曼边界条件的曲率运动的博弈论方法

DOI：
发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
0
作者：
LIU;Qing
通讯作者：
Qing

Fattening and game approximation

育肥和博弈近似

DOI：
发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
0
作者：
LIU;Qing
通讯作者：
Qing

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影响因子：
0.8
作者：
Matsue Kaname;Matsuoka Leo;Ogurisu Osamu;Segawa Etsuo;柳青;Masahiko Shimojo;Ippei Obayashi;Silvia Steila and Keita Yokoyama
通讯作者：
Silvia Steila and Keita Yokoyama