決定論的ビリヤード微分ゲームと放物型境界値問題

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本研究は完全非線形方程式の特異問題を対象として考察する。二つの部分から構成されている。第一部では微分ゲームによる手法で方程式の解の近似を行い、解の特異的性質を調べる。第二部では結晶成長に現れる非強圧的Hamilton-Jacobi方程式の解の漸近挙動を考察する。平成22年度では、主に以下のような成果をあげた。微分ゲームに関しては、保存則方程式の解の近似問題も考えた。今までのゲーム理論で扱える方程式は未知関数について単調であるので、方程式の粘性解が連続である場合がほとんどである。未知関数について単調でない方程式には通常の粘性解理論が適用できず、特異問題としてのゲーム理論による近似が大変興味深い問題となる。本年度ではこの様な方程式の代表である保存則方程式に対して空間一次元の場合で離散スキームを試み、初期値が単調減少の場合に不連続な解の近似解を構成した。非強圧的Hamilton-Jacobi方程式の解の長時間挙動についての研究も続けた。昨年度の結果と違い、今回考えたのは空間多次元の初期値問題である。この場合に考える定常問題の境界条件は特異Neumann型である。与えられたHamiltonianから有効領域とその領域での成長速度がどのように決まるかについて明らかにした。結晶成長のステップ源と対応するのはWeak KAM理論のAubry集合であることも分かった。最後に、より一般的なErgodic理論の観点から我々が示した長時間挙動に関する結果を分析し、有効領域の外での長時間挙動についても部分的な結果を与えた。