粘性解と変分問題

各地で開かれた研究集会に参加し,国内研究協力者と研究打ち合わせ・共同研究を行い,海外からの研究協力者を招へいしながら,次のような成果を得た.Ornstein-Uhlenbeck作用素の項を持つ粘性ハミルトン・ヤコビ方程式u_t-Δu+αx・Du+H(Du)=f(x)の解について研究し,初期値問題の可解性,時間無限大における解の漸近挙動に関する詳しい結果を得た.この研究はNamah, Fathi, Roquejoffre, Barles・Souganidisの最近の時間無限大における同様な研究を推し進めるもので,非有界領域の場合を扱った点に重要さがある.この研究では,さらに解を構成する際に,まず粘性解の存在を示し,この粘性解が古典解であることを示すという手順が取られている。そのために粘性解が古典解であることを示すことが重要であるが,このための一つの自然な方法を提示している。Hamilton-Jacobi方程式u_t+αx・Du+H(Du)fx)についても,Hが凸関数の場合に全空間上での解の時間無限大での漸近挙動について一般的な仮定のもとで収束定理を得ることが出来た.この漸近挙動の考察において弱KAM定理で導入されたHamilton-Jacobi方程式のAubry集合が重要な役割を果たす。この集合を特定し,最適制御の値関数として解を捉え,時間無限大での解の挙動を解析した.これまでの研究でHamilton-Jacobi方程式に対する緩和法を導入し(より正確には,緩和現象の発現数学的に捉え),比較的一般の非凸なHamiltonianを持つHamilton-Jacobi方程式に対して緩和現象の発現を示した.特に,今年度は,初期値問題を考察し,緩和現象の発現のための,確認し易い十分条件を確立した.

各地で開かれた研究集会に参加し,国内研究協力者と研究打ち合わせ・共同研究を行い,海外からの研究協力者を招へいしながら,次のような成果を得た.Ornstein-Uhlenbeck作用素の項を持つ粘性ハミルトン・ヤコビ方程式u_t-Δu+αx・Du+H(Du)=f(x)の解について研究し,初期値問題の可解性,時間無限大における解の漸近挙動に関する詳しい結果を得た.この研究はNamah, Fathi, Roquejoffre, Barles・Souganidisの最近の時間無限大における同様な研究を推し進めるもので,非有界領域の場合を扱った点に重要さがある.この研究では,さらに解を構成する際に,まず粘性解の存在を示し,この粘性解が古典解であることを示すという手順が取られている。そのために粘性解が古典解であることを示すことが重要であるが,このための一つの自然な方法を提示している。Hamilton-Jacobi方程式u_t+αx・Du+H(Du)fx)についても,Hが凸関数の場合に全空間上での解の時間無限大での漸近挙動について一般的な仮定のもとで収束定理を得ることが出来た.この漸近挙動の考察において弱KAM定理で導入されたHamilton-Jacobi方程式のAubry集合が重要な役割を果たす。この集合を特定し,最適制御の値関数として解を捉え,時間無限大での解の挙動を解析した.これまでの研究でHamilton-Jacobi方程式に対する緩和法を導入し(より正確には,緩和現象の発現数学的に捉え),比較的一般の非凸なHamiltonianを持つHamilton-Jacobi方程式に対して緩和現象の発現を示した.特に,今年度は,初期値問題を考察し,緩和現象の発現のための,確認し易い十分条件を確立した.