Nonlinear partial differential equations on sub-Riemannian manifolds based on viscosity solution theory

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主にサブリーマン多様体における準凸関数の性質と非線形偏微分方程式への応用について研究した．既に本研究でハイゼンベルグ群上の準凸関数と一階非局所的ハミルトン・ヤコビ方程式の関係が明らかになり，それに関する論文が国際ジャーナルRev. Mat. Iberoam. に掲載された．2022年度ではそれに続き，曲率タイプの二階楕円型作用素による準凸関数の特徴づけを考察し，方程式の粘性劣解の形で準凸関数になるための必要条件と十分条件を導いた．従来の結果よりも，より一般的な函数クラスでハイゼンベルグ群上の準凸関数と二階非線形楕円型方程式との関係を明らかにし，理解を深めることができた．さらに，この結果を用い，未解決問題であるハイゼンベルグ群上の曲率流の凸保存性についても研究を行った．初期値の幾何学的構造に対する一定の仮定の下で部分的な結果を得られた．これらの成果をまとめた論文が現在投稿準備中である．関連の課題として，ユークリッド空間における非局所完全非線形放物型方程式の粘性解の準凸保存性も研究し，先行研究の結果を改良できた．冪凸函数による近似を新しい解析の手法として採用し，従来の研究で扱う方程式よりも一般的な非局所方程式について，解の準凸保存定理を確立することができた．この研究結果をまとめた論文が国際ジャーナルNonlinear Differential Equations Appl. に掲載された．