非コンパクト・リーマン多様体上のスカラー曲率の方程式

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本研究は、リーマン多用体上に与えられた関数が、その共形類の中でスカラー曲率として実現されるか、と言う問題を定式化した、いわゆるスカラー曲率の方程式について、特に非コンパクト完備リーマン多用体上、及び、コンパクト・リーマン多用体から閉部分多様体またより一般の閉部分集合を除いた部分領域上において、非正の関数を実現する解空間の構造を調べている。より具体的には、解の存在、挙動、一意性、非存在等を、線形方程式の正値解の空間との関係から、総合的にとらえようと試みているが、今年度の研究では、スカラー曲率の方程式を含むあるクラスの非線形楕円型方程式について、これまで主として完備リーマン多用体上、曲率に関するある種の条件下で知られていた解の非存在のための条件を、相対コンパクト領域の境界あるいは特異点集合の次元に関する条件に読み替えて一般化し、また、境界がなめらかでない場合も、対象とする領域上の正値調和関数によって条件を記述した。さらに、境界がなめらかな場合には、これまで知られていた解の上からの演繹的評価を改善することにより、非存在条件のより精密化した。また、この評価の別の応用として、境界の余次元が2の場合の高いオーダーの解の一意性定理も得た。これらの結果は、論文"Nonexistence of subsolutions of a nonlinear elliptic equation on bounded domains in a Riemannian manifold"としてまとめ、発表する予定である。