双曲型偏微分方程式に対する逆問題へのCarleman評価の応用と数値解析

卡尔曼评估在双曲偏微分方程反问题中的应用及数值分析

• 批准号: 08740143
• 负责人: 久保 雅義
• 金额: $ 0.64万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740143/
• 关键词: 逆問題; Carleman評価; 一意接続性; 偏微分方程式

逆問題の中で双曲型偏微分方程式の係数を決定するという問題とり上げその解の一意性、観測データに対する連続性をCarleman評価を用いて解析を行ない、条件安定評価(conditional stability)の一つであるl-stabilityを示すことができた。今まででは楕円型又は放物型作用素に対してBukhgeimらがCarleman評価を用いて一意性などを議論し一応の結果が出されていたが、双曲型作用素に対しては本質的にpseudo-convexな領域にしか普通のCarleman評価が成り立たないためこの方法には限界があった。これに対しては局所化されたGauss-Fourier変換を用いることで双曲型作用素を主部が楕円型となる作用素に変え、それに対してCarleman評価を用いて逆問題の解の一意性を若干の仮定のもとで示した。この結果に付随して熱方程式の解と初期値に対する評価を導いた。これは局所的Gauss-Fourier変換と関連するものであり、熱方程式の初期値問題の解の時刻ゼロの近傍での減衰オーダーから、初期値のサポートの位置の情報を得るもので、いわゆる逆問題の一つである。更にこれと関連して熱方程式及びシュレディンガー方程式に対するAsymptotic Unique Continuationを特殊な重み関数を用いて示すことができた。一般的にCarleman評価を用いると偏微分方程式の解の一意接続性が得られるが、熱方程式などに対しては、t=(定数)の平面の一部において方程式の解がexponential orderでゼロになるならば、その状態を同じt=(定数)の平面の他の部分(近傍)に伝えるというものである。今後はこの様な新しい形のCarleman評価を導き、それに基づいて逆問題の解の一意性を考察していく予定である。

我们能够查看逆问题中确定双曲线偏微分方程系数的问题，并使用Carleman评估分析溶液的唯一性以及观察到的数据的连续性，并且我们能够证明L稳定性，这是条件稳定性评估之一。到目前为止，Bukhgeim等人。已经使用Carleman评估来讨论椭圆或抛物线算子的独特性和其他因素，并给出了表面上的结果，但是这种方法限制了其方法，因为通常在伪convex域中才能实现高碳酸酯算子的常规卡尔曼评估。作为响应，局部高斯较较高的变换用于将双曲线操作员转换为主要部分是椭圆形的操作员，并且使用Carleman评估来显示解决方案在某些假设下对逆问题的独特性。该结果伴随着溶液的估计和热方程的初始值。这与局部高斯较较大的变换有关，并且在解决热方程的初始值问题的解决方案中，从衰减顺序接近衰减顺序的初始价值支持位置，这是所谓的逆问题之一。此外，在这方面，可以使用特殊的加权函数显示热量和Schrödinger方程的不对称独特延续。通常，使用Carleman评估在偏微分方程的解中提供了独特的连接性，但是对于热方程，如果方程的解在T =（常数）的一部分的一部分中变为零，则状态将传输到同一t =（常数）的其他部分（附近）（附近）（附近）（附近）。将来，我们将得出这种新形式的Carleman评估形式，并考虑基于此的解决方案的独特性。