数理工学における偏微分方程式の逆問題への一意接続性定理の応用と数値解析

唯一连通性定理在数学工程偏微分方程反问题中的应用及数值分析

基本信息

批准号：
09740143
负责人：
久保雅義
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Kyoto University (1998)Osaka University (1997)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1998
资助国家：
日本
起止时间：
1998 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-09740143/
关键词：
Carleman評価逆問題一意接続性偏微分方程式

项目摘要

通常の偏微分方程式に対する一意接続性ではゼロ初期条件を初期面に与えたときにその初期面の近傍でゼロとなるかを考察するのであるが,さらに境界面に境界条件を附加することで今までは困難とされていたタイプの一意接続性を示した.具体的には強双曲型偏微分方程式に対してDirichlet境界条件の場合だけでなくNeumann境界条件の場合でも初期面がStrongly pseudo-convex条件を満たせば初期面がtime-likeであっても境界と初期面のなす角度がある一定の条件を満たせば境界と初期面の交わりの近傍で一意接続性が成立することを示した.方程式がダランベルシアンの場合は境界と初期面のなす角度が90度未満であればその条件は満たされる.これは境界データ込のCarleman評価を強双曲型偏微分方程式に対して示すことによって成されるが,今回この評価を双曲型だけでなく放物型,楕円型に対しても示した.一つの応用として偏微分方程式の係数を決定する逆問題の解の一意性については、観測を領域のすべての境界ではなく、ある条件を満たす部分領域であればよいことがわかった。この結果は作用素の型には依存しないものであり一般の形状の領域に対しても適用可能である。また熱方程式の解と初期値に対する評価を導いた。これは熱方程式の初期値問題の解の空間のある点の近傍の時刻ゼロの近傍での減衰オーダーから、初期値のサポートの位置の情報を得るもので,いわゆる逆問題のーつである。更にこれと関連して熱方程式及びシュレディンガー方程式に対するAsymptotic Unique Continuationを特殊な重み関数を用いて示すことができた。これはt=(定数)の平面の一部において方程式の解がexponential orderでゼロになるならば、その状態を同じt=(定数)の平面の他の部分(近傍)に伝えるというものである。

考虑到零初始条件在初始表面给出零初始条件时是否给予正常偏微分方程的唯一连接性，但是通过将边界条件添加到边界表面时，我们已经显示出一种唯一的连接类型，直到现在到目前为止很难。具体而言，对于强双曲部分偏微分方程，即使在Dirichlet边界条件的情况下，也是在Neumann边界条件的情况下，初始表面在强的双曲线偏微分方程中也很强。结果表明，即使满足了伪符号条件，即使初始表面是时间状的，也满足了某个条件，也可以在边界和初始表面的交点附近建立独特的连接。在方程式的情况下，如果满足边界和初始表面，则如果边界形成的角度和初始表面小于90度，则必须满足条件。这是通过显示Carleman评估包括包括强双曲线偏微分方程的边界数据来实现的，现在该评估不仅用于双曲线，而且针对抛物线和椭圆类型。至于逆问题解的唯一性，该解决方案决定了部分微分方程的系数作为应用，因此发现观察值不仅在该地区的所有边界上，而且是满足一定条件的子区域。该结果不取决于操作员的类型，并且适用于一般形状区域。我们还得出了热方程初始值的解决方案和评估。这将获取有关衰减顺序接近衰减订单的位置的信息，近时间零，在热方程初始值问题的解决方案空间中的某个点附近，这是所谓的反问题。此外，在这方面，可以使用特殊的加权函数显示热量和Schrödinger方程的不对称独特延续。这意味着，如果对方程的解在t =（常数）的一部分的一部分，按指数顺序为零，则状态将传输到相同t =（常数）平面平面的另一部分（附近）。