自然科学に現れる逆問題の数学解析及び数値解析

点击翻译按钮获取中文摘要

双曲型偏微分方程式の係数を決定するという逆問題とり上げその解の一意性に対して、ある新しい観測領域の下で成立することが分かった.双曲型作用素に対しては本質的にpseudo-convexな領域にしか普通のCarleman評価が成り立たないためこの種の逆問題への適用は限界がある。この逆問題としての観測領域は,双曲型偏微分方程式の初期条件t=0,pseudo-convexでない境界に対する(pseudo-convexな境界の場合はすでに解決ずみであるが,双曲型の場合にはこの条件は医学・工学への応用を考えた場合非常に厳しいものとなっている.)境界条件及び時刻t=T>0における双曲型偏微分方程式の解の値(速度を含む)となっている.今回用いた方法は重層ポテンシャルによる積分変換により双曲型偏微分方程式を楕円型偏微分方程式に変える手法である.これはt=0とt=Tにおける条件を用いることで容易に変換できるものである.これにより方程式としては楕円型となるので任意のなめらかな曲面がpseudo-convexとなり取り扱いが容易になる.しかし問題として変換によって逆問題に境界特異点が出てきてしまい通常のCarleman評価は適用できない.これに対して最近得られた境界特異値込のCarleman評価を用いることで問題となる特異点を押さえることができた.この特異値込のCarleman評価は放物型に対しては以前から得られたいたが楕円型に対しては形式的に評価として確立してはいるが,有効な応用については例がなかった.楕円型偏微分方程式は任意の滑らかな曲面がpseucdo-convexとなるので単なる一意接続性については境界特異値込のCarleman評価を用いる必要性が生じないからである.一方今回の問題は双曲型偏微分作用素を積分変換で楕円型に変えたものに境界特異値が生じる逆問題のケースであったため楕円型に対する境界特異値込のCarleman評価が有効な手段となり,この逆問題の解の一意性を示すことができた.