フラクタル集合上でのリフシッツ挙動の評価

今年度研究代表者は「フラクタル集合上でのリフシッツ挙動の評価」を研究課題として掲げDonsker-Varadhan型の評価をフラクタル集合の場合にあわせて改良することを当面の目標として設定した。それにはまず、フラクタル集合上での大偏差原理の成立を見なくてはならない。そこで今年度は特にシェルピンスキガスケット上での拡散過程について大偏差原理の成立とその応用について共同研究を実施した。今年度中に得られた結果の一部を以下に記す。単位シェルピンスキガスケットEに対して、それを2^1倍に拡大したものをE^<<1>>とする。E^<<∞>>上のハウスドルフ測度μ(μ(E)=1)、をとり、(ε,F)をE^<<∞>>上の拡散過程(X_t,P_x)に対応するL^2(E^<<∞>>,μ)上のディリクレ空間とする。MをE^<<∞>>上の測度で全測度1以下のものの集合とし、漠位相を与える。この時B∈B(E^<<∞>>)に対して、L_t(ω,B)=∫^t_OI_B(X_3)ds/t,としM上に確率測度Q_<t,x>=P_xoL^<-1>_tを定める。さらに、β∈Mに対して、βがμに対して絶対連続でその密度関数fに対して√<f>がFに含まれる時I(β)=ε(√<f>,√<f>)と定義する。このとき、以下の大偏差原理1.2.並びに局所時間l_t(ω,x)の重複対数の法則3.が成立する。1.閉集合A⊂Mに対して、limsup_<t→∞>logQ_<t,x>(A)/t【less than or equal】-inf_<β∈A>I(β).2.βをE^<<∞>>上の確率測度で台がE^<<1>>に含まれるものとする。G⊂Mをβの近傍とする時、l′【greater than or equal】lに対して、liminf_<t→∞>laginf_<x∈E<1>>P_x(L_t(w,)∈G,t<γ_<E<1′>>)/t【greater than or equal】-I(β)ただし、γ_<E<1′>>=inf{t【greater than or equal】0:X_t【not a member of】E^<<1′>>}.O<limsup_<m→∞>l_<tm>(ω,0)/t^<1-d,/2>_m(loglogt_m)^<d,/2>=sup{f(O):f∈A}<∞,P_o-as..ただし、d,=2log3/log5、A={f:∫fdμ【less than or equal】1、ε(√<f>),√<f>)【less than or equal】1、非負一様連続}、{t_m}はt_m/loglogt_m=5^mを満たす単調増加数列。

今年度研究代表者は「フラクタル集合上でのリフシッツ挙動の評価」を研究課題として掲げDonsker-Varadhan型の評価をフラクタル集合の場合にあわせて改良することを当面の目標として設定した。それにはまず、フラクタル集合上での大偏差原理の成立を見なくてはならない。そこで今年度は特にシェルピンスキガスケット上での拡散過程について大偏差原理の成立とその応用について共同研究を実施した。今年度中に得られた結果の一部を以下に記す。単位シェルピンスキガスケットEに対して、それを2^1倍に拡大したものをE^<<1>>とする。E^<<∞>>上のハウスドルフ測度μ(μ(E)=1)、をとり、(ε,F)をE^<<∞>>上の拡散過程(X_t,P_x)に対応するL^2(E^<<∞>>,μ)上のディリクレ空間とする。MをE^<<∞>>上の測度で全測度1以下のものの集合とし、漠位相を与える。この時B∈B(E^<<∞>>)に対して、L_t(ω,B)=∫^t_OI_B(X_3)ds/t,としM上に確率測度Q_<t,x>=P_xoL^<-1>_tを定める。さらに、β∈Mに対して、βがμに対して絶対連続でその密度関数fに対して√<f>がFに含まれる時I(β)=ε(√<f>,√<f>)と定義する。このとき、以下の大偏差原理1.2.並びに局所時間l_t(ω,x)の重複対数の法則3.が成立する。1.閉集合A⊂Mに対して、limsup_<t→∞>logQ_<t,x>(A)/t【less than or equal】-inf_<β∈A>I(β).2.βをE^<<∞>>上の確率測度で台がE^<<1>>に含まれるものとする。G⊂Mをβの近傍とする時、l′【greater than or equal】lに対して、liminf_<t→∞>laginf_<x∈E<1>>P_x(L_t(w,)∈G,t<γ_<E<1′>>)/t【greater than or equal】-I(β)ただし、γ_<E<1′>>=inf{t【greater than or equal】0:X_t【not a member of】E^<<1′>>}.O<limsup_<m→∞>l_<tm>(ω,0)/t^<1-d,/2>_m(loglogt_m)^<d,/2>=sup{f(O):f∈A}<∞,P_o-as..ただし、d,=2log3/log5、A={f:∫fdμ【less than or equal】1、ε(√<f>),√<f>)【less than or equal】1、非負一様連続}、{t_m}はt_m/loglogt_m=5^mを満たす単調増加数列。