5角関係式を用いた３次元多様体の量子不変量

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5角関係式を用いて構成される3次元多様体の量子不変量の研究を行った.　80年代の結び目のJones多項式の発見とE. WittenによるChern-Simons理論を用いた解釈により, トポロジーと数理物理の間の非自明な関係が明らかになった.　さらにChern-Simons理論の数学的定式化として量子群, 共形場理論, テンソル圏などを用いた結び目や3次元多様体の新しい不変量が構成された.3次元多様体や結び目の量子不変量を構成する方法はいくつか存在するが, この研究ではR, KashaevによるHopf代数から構成される5角関係式の解を用いて3次元多様体の量子不変量の構成を行った.5角関係式の解は, 量子Yang-Baxter方程式の解を導出するため非常に基本的な関係式であると考えられる. Hopf代数から構成される5角関係式を用いて鈴木氏と寺嶋氏との共同研究のもと, ベッチ数が0となるフレーミング付き3次元多様体の量子不変量を構成した.特に興味深い例として, 小さな量子群から構成される5角関係式の解を用いた3次元多様体の不変量があげられる.　この場合, 8の字結び目の補空間からは結び目のKasaev不変量が出てくることが分かっており, 今後これらの不変量が一般的な形で結びつくのではないかと予想している.