Explizite Methoden in der Galoistheorie

点击翻译按钮获取中文摘要

Galoisgruppen sind grundlegende Objekte der Mathematik, mit deren Hilfe man entscheiden kann, ob eine Polynomgleichung durch geschachtelte Wurzelausdrücke gelöst werden kann. In den letzten Jahren konnte der Antragsteller große Fortschritte bei der praktischen Berechnung von Galoisgruppen über den rationalen Zahlen erzielen. Obwohl die implementierten Verfahren inzwischen Galoisgruppen von Polynomen in hohem zweistelligen Grad bestimmen können, ist die Galoisgruppenberechnung immer noch ein sehr schweres Problem und es ist nicht bekannt, ob es hierzu Algorithmen mit Polynomlaufzeit gibt. In diesem Projekt sollen erstmalig nicht triviale Algorithmen für Galoisgruppen über p-adischen Körpern entwickelt und implementiert werden. Es besteht berechtigte Hoffnung, dass man hierdurch auch die Galoisgruppenberechnung über globalen Körpern deutlich verbessern kann. Zur Durchführung des Projekts muss man einerseits die Struktur von p-adischen Körpern theoretisch sehr genau verstehen, andererseits soll am Ende eine Implementierung in dem Computeralgebra– System Magma entstehen. Dies zeigt ein sehr schönes Wechselspiel zwischen reiner Mathematik und Computeralgebra. Diese Algorithmen sind sehr wichtig, um interessante Beispiele für Vermutungen innerhalb der Geometrie und der Zahlentheorie zu finden und zu verstehen.