擬等角写像によるレブナー理論の新展開

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1. 等角写像の擬等角拡張拡張に対するレブナー理論を用いたアプローチに関しては、昨年度得られたchordal typeのLoewner方程式の結果を適用することで、具体的な擬等角拡張条件を引き出すことに成功した。一方は既知の結果もしくは予想しうる結果であったが、Loewnerの方法を用いることで証明が非常に簡略化された。また今までにない新しい擬等角拡張条件を引き出すことができた。2. レブナー理論に擬等角写像を組み込み新たな理論を構築する研究に関しては、海外の研究者らと供に新しいプロジェクトを立ち上げた。特に我々は2011年のIwaniec et alの論文に注目した。彼らは複素平面上のreduced quasiconformal fieldによって定義される自励系微分方程式の解が一意に定まることを示した。一方でdynamicsを観察するために重要な正規化条件やHerglotz functionに関する考察はされていなかった。我々はまずこの点を考察し、Loewner理論との接点をいくつか見出した。3. 今年度の最も重要な結果として、国内では初のレブナー理論に関する国際研究集会を開催したことである。海外よりDiaz-Madrigal氏、Gumenyuk氏、del Monaco氏を招き、また国内の函数論のみならず確率論、微分方程式論、無限可積分系の専門の方をお呼びし、Loewnerというキーワードを通して相互の理解を図り、様々な形で研究交流をした。ここから直ちに得られた結果はないが、今後のLoewner理論の研究、特に国内での同理論の研究の発展に大きな影響を与えると確信している。4. ポーランドのカトリック大学のMichalski氏と共に調和関数と擬等角写像の関係に関する研究も続けている。今回はその副産物として、非解析的部分に特別な幾何的条件を与えた調和関数に関する極値問題に対し、いくつかの結果を得ることができた。同結果は今年度中にポーランドの国際専門誌に掲載された。