若干Hopf代数的表示与相关不变量

Hopf代数是代数学的重要研究领域之一，Hopf代数的结构和分类、表示理论以及不变量是Hopf代数的主要研究内容。本项目研究了非零特征域上有限维群代数的Drinfeld double，给出了该Drinfeld double具有Chevalley性质的等价刻画和含于Jacobson根中的最大Hopf理想的结构。对于二面体群群代数的Drinfeld double，给出了有限维不可分解模的结构及其分类，几乎可裂序列的结构，以及张量积模的分解式。研究了群代数的Hopf-Ore扩张的结构及其表示理论，给出了任意域上秩为1的pointed Hopf代数的分类，证明了秩为1的pointed Hopf代数同构于它的余根群代数的Hopf-Ore扩张的商Hopf代数，进而给出了这两类Hopf代数的有限维不可分解权模的结构与分类。还给出了二面体群群代数的Hopf-Ore扩张上Yetter-Drinfeld模的结构与分类。研究了一类余根为有限循环群群代数的Hopf代数的表示，给出了单模和不可分解投射模的分类，证明了单模的张量积是半单的，且这类Hopf代数是wild表示型的。研究了3维单李代数的量子包络代数的非负部分的余代数自同构，给出了该量子包络代数的非负部分的余代数自同构群的结构，这是第一个完全刻画清楚的余代数自同构群。研究了Taft代数的Green环，虽然Taft代数不是拟余交换的Hopf代数，但我们证明了它的Green环是有两个元素生成的交换环，且两个生成元满足广义Fibonacci多项式。进而研究了广义Taft代数的Green环，得到了类似的结果。还研究了Sweedler 4-维Hopf代数的Drinfeld double的Green环，给出了任意两个不可分解模的张量积分解成不可分解模的直和分解式，进而给出了这个Drinfeld double的Green环的一簇生成元及其所满足的关系式。研究了半Hopf群代数的拟三角结构和模范畴，证明了半Hopf群代数是拟三角的当且仅当它的群模范畴成为一个辫子monoidal范畴，且存在一簇相应的辫子monoidal自函子。研究了Taft代数的Drinfeld double的Hopf *-代数结构，给出了Hopf *-代数结构的等价分类。