Approximation nichtlinearer Dynamiken in der gemischt-ganzzahligen Optimierung

在这个项目中，用多学科综合韦尔登方法解决了非线性函数近似问题。在Mittelpunkt中，非线性函数的建模，包括局部微分方程，复杂几何（z.B. Zusammentreffen mehrerer Leitungen an einem Knoten）oder zeitkritischen Dynamiken（z.B. Flussumkehr）entsteht. [...]这是一个非常复杂的问题，我们需要韦尔登。大北韦尔登在前向结构上有很大的优势，而来自Kopplung的更强大的线性功能则具有时代性和动态性。因此，从这些气体中提取韦尔登，在聚合物结构中产生一个小块，这样气体就可以优化气体的浓度。消除次优化的Teilbänshoul darüber hinaus eine Knotenchistik entwickelt韦尔登.在韦尔登过程中进行了灵敏度分析，并对灵敏度进行了分析，得到了线性韦尔登过程的灵敏度。Mit Hilfe dieser Erkenntnisse können in Verbindung mit den im Projekt entwickelten a-posteriori Fehlerschätzern adaptive Approximationen berechnet韦尔登，die das Auffinden zulässiger Lösungen garantieren，wenn solche questieren. Ein dritte Herausforderung bildet die Integration nichtlineer（convexer）Löser in unseren分支和剪切块。一个解决方案可以在分支和束缚的结点上增加韦尔登和束缚的结点，该结点可以是线性松弛的一个解。Daddy wird eine Verschärfung der unteren Schranke des Zielfunktionals erzielt，was widerum dazu führt，dass unzuläsophrenia Teilprobleme früher erkannt und der Optimalitätsbeweis schneller erbracht韦尔登kann.因此，在一个完整的计划中，一个非线性的集成功能将被韦尔登，从而使一个使用变量的集成工具能够更快地被韦尔登。Dabei handelt es sich um ein Verfahren aus dem Gebiet der Computergrafik，das dort zur Berechnung von Hüllkörpern verwendet wird.最后，我们将提供一个测试和实际测试，我们的工业合作伙伴将提供一个原型实现。

Ausgehend von konkreten Anwendungsfällen aus der Gasnetzoptimierung soll in diesem Projekt das Problem der Approximation nichtlinearer Funktionen mit Methoden der polyedrischen Kombinatorik gelöst werden. Im Mittelpunkt steht dabei die Modellierung nichtlinearer Funktionen, insbesondere partieller Differentialgleichungen, die aus komplexen Geometrien (z.B. Zusammentreffen mehrerer Leitungen an einem Knoten) oder zeitkritischen Dynamiken (z.B. Flussumkehr) entsteht. [...] Es müssen weitere polyedrische Untersuchungen angestellt werden. Dabei werden insbesondere solche Strukturen im Vordergrund stehen, die aus der Kopplung mehrerer stückweise linearer Funktionen über zeitliche und dynamische Beziehungen entstehen. Erkenntnisse, die aus diesen Studien gewonnen werden können, ergeben möglicherweise Einblicke in polyedrische Strukturen, deren Gültigkeit weit über den Kontext der Gasnetzoptimierung hinaus geht. Zur Elimination suboptimaler Teilbäume soll darüber hinaus eine Knotenheuristik entwickelt werden. Zum anderen sollen Sensitivitätsanalysen durchgeführt werden, mit deren Hilfe Aussagen über die Sensitivität diskreter Variablen hinsichtlich der Linearisierungsfehler getroffen werden können. Mit Hilfe dieser Erkenntnisse können in Verbindung mit den im Projekt entwickelten a-posteriori Fehlerschätzern adaptive Approximationen berechnet werden, die das Auffinden zulässiger Lösungen garantieren, wenn solche existieren. Ein dritte Herausforderung bildet die Integration nichtlinearer (konvexer) Löser in unseren Branch and Cut Algorithmus. Ein solches Verfahren kann in jedem Knoten des Branch and Bound Baums aufgerufen werden, um anstatt der linearen Relaxierung eine konvexe Relaxierung des aktuellen Teilproblems zu lösen. Dadurch wird eine Verschärfung der unteren Schranke des Zielfunktionals erzielt, was wiederum dazu führt, dass unzulässige Teilprobleme früher erkannt und der Optimalitätsbeweis schneller erbracht werden kann. Außerdem soll ein Ansatz zur Integration nichtlinearer Funktionen in gemischt-ganzzahlige Programme untersucht werden, der ohne die Einführung zusätzlicher Variablen auskommt und als reines Schnittebenenverfahren aufgefasst werden kann. Dabei handelt es sich um ein Verfahren aus dem Gebiet der Computergrafik, das dort zur Berechnung von Hüllkörpern verwendet wird. Am Ende steht eine Auswertung aller Algorithmen anhand realistischer Testszenarien, die uns von unserem Industriepartner zur Verfügung gestellt wurden, mit dem Ziel einer prototypischen Implementierung.