Mathematical Sciences: Curvature and Topology

数学科学:曲率和拓扑

基本信息

  • 批准号:
    9504418
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 6.7万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Standard Grant
  • 财政年份:
    1995
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    1995-07-01 至 1998-06-30
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

9504418 Stolz The principal investigator studies the question of which manifolds admit Riemannian metrics of positive scalar (respectively Ricci) curvature. According to the Gromov-Lawson-Rosenberg conjecture, a spin manifold admits a metric of positive scalar curvature if and only if an `index' obstruction vanishes. This conjecture has been proved (by the principal investigator and his coauthors) for spin manifolds whose fundamental groups have periodic cohomology. Moreover, a "stable version" of this conjecture has been proved for manifolds with finite fundamental groups (in the "stable version" one allows the manifold to be replaced by its product with sufficiently many copies of the "Bott-manifold," an eight-dimensional spin manifold that represents the periodicity element in real K-theory). The principal investigator works on proving the "stable" conjecture for all spin manifolds whose fundamental groups satisfy the Baum-Connes conjecture. Moreover, he suspects that the Gromov-Lawson-Rosenberg conjecture does not hold in general, and tries to find new "unstable" obstructions to the existence of positive scalar curvature metrics. Concerning positive Ricci curvature, the investigator is pursuing a proof of his conjecture that the existence of a positive Ricci curvature metric on a spin manifold with vanishing first Pontryagin class implies the vanishing of its Witten genus. This involves a "Weitzenboeck formula " for the Dirac operator on the free loop space of this manifold. These projects fit in the general framework of trying to relate the topology of a manifold (qualitative information about its global shape) and its geometry (quantitative information about its local shape). For 2-dimensional manifolds (like the surface of a ball or a tire), a nice classification has been known for a long time: Two such surfaces have the same topology (i.e., they can be deformed into each other if we think of them as being made of thin rubber) if and only if they have the same number of "holes" (the surface of a ball has no holes, the surface of a tire or a cup has one hole, and a pretzel has two holes). Moreover, if a surface has "positive curvature" in the sense that the angle sum in each triangle whose edges are geodesics (shortest curves) is larger than 180 degrees, then this surface has the same topology as the surface of a ball. It is a major goal of modern day mathematics to generalize these results to higher dimensional manifolds (e.g., our universe is a manifold of dimension 3, Einstein's space-time has dimension 4, and manifolds of dimension 10, resp. 26, play a crucial role in the theoretical physics of the attempted unification of the four fundamental forces). ***
小行星9504418 主要研究问题的流形承认黎曼度量的正标量(分别利玛窦)曲率。 根据Gromov-Lawson-Rosenberg猜想,一个自旋流形有一个正的标量曲率度量当且仅当一个“指标”障碍为零。 这个猜想已经被证明(由首席研究员和他的合著者)自旋流形的基本群体有周期上同调。 此外,这个猜想的一个“稳定版本”已经在有限基本群的流形上得到了证明(在“稳定版本”中,人们允许流形被它与足够多的“底部流形”(Bott-manifold)的乘积所取代,“底部流形”是一个八维自旋流形,代表了真实的K-理论中的周期元素)。 主要研究工作是证明所有基本群满足鲍姆-康纳斯猜想的自旋流形的“稳定”猜想。 此外,他怀疑Gromov-Lawson-Rosenberg猜想一般不成立,并试图找到新的“不稳定”障碍,以证明正标量曲率度量的存在。 关于正的Ricci曲率,研究者正在寻求证明他的猜想:在第一庞特里亚金类为零的自旋流形上存在正的Ricci曲率度量意味着它的维滕亏格为零。 这涉及到一个“Weitzenboeck公式“的狄拉克运营商的自由循环空间这个流形。 这些项目符合试图将流形的拓扑(关于其全局形状的定性信息)与其几何(关于其局部形状的定量信息)联系起来的一般框架。 对于二维流形(如球或轮胎的表面),一个很好的分类已经知道了很长一段时间:两个这样的表面具有相同的拓扑结构(即,如果我们认为它们是由薄橡胶制成的,它们可以相互变形)当且仅当它们有相同数量的“孔”(球的表面没有孔,轮胎或杯子的表面有一个孔,而椒盐卷饼有两个孔)。 此外,如果一个曲面具有“正曲率”,即每个三角形的角和都是测地线(最短曲线),大于180度,那么这个曲面具有与球的曲面相同的拓扑结构。 现代数学的一个主要目标是将这些结果推广到更高维的流形(例如,我们的宇宙是三维的流形,爱因斯坦的时空是四维的,而流形是十维的。26,在试图统一四种基本力的理论物理学中起着至关重要的作用)。 ***

项目成果

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